第1章
函数极限和连续函数
§ 1-1函数的极限
2定义
或
一.函数在某点的极限
1.描述性定义
32.函数极限的几何意义
4极限不存在的例子
56
定理：
单侧极限
记为
7例证明极限：
P0
注: 用定义证明函数极限存在时找使不等式成立的δ（与有关）.x a
8“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：
——刘徽
1.几何意义：以直代曲
重要极限
9函数极限存在的夹逼准则
定理.且
10
例证明重要极限(46)
1
1二、函数在无穷远的极限
12
几何解释:
直线 y = A 为曲线P M
的水平渐近线
13
精确化定义：
设函数
大于某一正数时有定义,
若
则称常数
时的极限,
记作
A 为函数
14
直线y = A 仍是曲线y = f (x) 的渐近线 .
两种特殊情况 :
当
时, 有
当
时, 有
几何意义 :
例如，
都有水平渐近线
都有水平渐近线
又如，
15
例.证明
证:
取
因此
注:
就有
故
欲使
即
16
思考：讨论下列函数当x →∞时的极限。
17
三.函数在一点的连续性
18
19
例
证
20
例.设f (x) 定义在区间
上 ,
, 若 f (x) 在
证明:
且对任意实数
证明f (x) 对一切 x 都连续 .
21
单侧连续
定理
22
例
解
函数f(x)在点x=0处右连续但不左连续 ,
23
函数的间断点
24
1)可去间断点
例
解:
f(1)=1,f(1-0)=2,f(1+0)=2
25
如上例中,
26
例
解
2)第一类间断点（跳跃间断点）
27
3)第二类间断点
例
解
这种间断点称为无穷间断点.
28
例
解
这种间断点称为振荡间断点.
29
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
它在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.思考：判断下列间断点的类型:
★
30
可去型
第一类间断点
跳跃型
第二类间断点
31
解
32
因此,x=kπ+π/2(k=0,±1,±2,„) 是可去间断点.例．讨论函数y=x/tanx的间断点
解:(1)函数在x=0没有定义
因此，x=0是可去间断点
(k=±1,±2,…)
因此，x=kπ(k=±1,±2,„) 是无穷间断点; (k=0,±1,±2,…)
(3)函数在x=kπ+π/2没定义
33
例确定函数
间断点的类型.
解:间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
34
