函数与极限测试题答疑

第一章函数与极限测试题答疑

一、选择题（7×4分）

x,1． 设f(x)2x,x0,g(x)5x4，则f[g(0)]-------------------（ D） x0

A 16B 4C 4D 16 注：中学基本问题，应拿分！

2． 函数yf(x)的增量yf(xx)f(x)--（ C）

A 一定大于0B一定小于0C不一定大于0D一定不大于0 注：中学基本问题，应拿分！

3． lim(13x)2x---------（ C） x0

12

3A e6B e3C e2D e6 注：重要极限基本问题，应拿分！

4． 当x0,2tanx是关于sin2x的---------------（ C）

A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但非等价无穷小 注：无穷小比较基本问题，应拿分！

5． x4是f(x)sin(x4)

x162的----------------------（ B）

A跳跃间断点B可去间断点C第二类间断点D连续点 注：间断点类型基本判定问题，应拿分！

x4应选何答案？

xsinx

x26． 曲线y2的水平渐近线方程为-----（ B）

A x2B y2C x2D y2 注：水平渐近线方程基本问题，应拿分！

7．函数yf(x)在x0处有定义是yf(x)在x0处有极限的-----------------（ D）

A 充分但非必要条件B 必要但非充分条件

C 充分且必要条件D 既不充分也不必要条件

注：函数yf(x)在x0处有定义与有极限的基本关系问题，应拿分！

二、填空题（3×4分）

1．lim

(2n1)(3n1)

(6n1)

n



1108

.注：的基本计算问题，分子分母比较最大项，应拿分！

ln(12x)

,x0x2．若函数y连续，则a2.

3xa,x0

注：函数连续的基本问题，应拿分！ 3．已知：lim

xbx51x

x

1a，则a4，b6.

注：极限的逆问题，有一定难度！

由lim(xbx5)0，得b6，进而有a

4x1

三、计算题（4×7分）

arctanxe

1x





1．lim

x

2

21

11x

11x

注：极限定式的基本问题，应拿分！ 2．lim(

x

x2x1

x

)2=ex

2lim

x

ln(1

11x

ln(1)

)

0

ex21xe2

lim

x11

注：极限1的基本问题，应拿分！ 3．lim(x

x

xx)lim

xxlim

11

1x1



12

xx

注：极限的基本问题，尽管例题未讲，但处理方法讲过，化为比式，应拿分！ 4．lim



tanx

x

sinx

x0

lim

x0

tanxsinx

x12

xlim

x0

x

=

12

lim

tanxsinx

x00

x0



12

lim

tanx(1cosx)

x

x0



=1

4x

注：极限的综合问题，有一定难度！

1tanx

x

1错误解法：原式lim

x

尽管得数正确，但分子两个局部等价无法保证整个分子也等价！

x0

x0

limsinx



四、（9分）设y

e1e

1x

x

,

（1）求函数的间断点并判断其类型；

（2）求该函数图象的水平渐近线及铅直渐近线。

解：（1）x0是非定义点，一定是间断点，又limf(x)，所以x0为第二类间断点

x0

（2）因limf(x)，则x0为铅直渐近线

x0

又 limf(x)1，limf(x)1所以 y1，y1为其水平渐近线

x

x

注：极限应用的综合问题，但难度不大！

2五、（8分）当x0时，x1与1cos

ax互为等价无穷小，求a值。

解：因为

x1~

1

3x，1cos

~

ax

2，

则

1lim

x0

22

，所以a lim32

x0ax3a3x

注：极限的逆问题，但难度不大！ 错误解法：因为

x1~

13

x，1cos

~

ax2

又11cos，故想一想，该方法为何错？

13

x

ax2

，所以a

23

六、（8分）把长为a的线段AB分为n等分，以每个小段为底做底角为等腰的两腰组成一折线，试求当n无限增大时所得折线长的极限。 解：lim2n.n

2n

的等腰，这些



a2n

sec

2

a n

注：极限的基本建模问题，应拿分！ 请解决下列问题：

1、半径为r的圆内接正n边形，试求当n无限增大时，其边长与面积的极限。

2、根据药物动力学理论，一次静脉注射剂量为D0的药物后，经过时间t，体内血药浓度为V

（1）试求n次注射后体内血药浓度Cnt与第n次注射后的时间t的关系。 Ct

D0

e

kt

，其中k0为消除速率常数，V为表观分布容积。若每隔时间r注射一次，

（2）随着n的无限增大，血药浓度是否会无限上升呢？

七、（7分）（二题可以选作一题） （1）求lim(

n

1n



1n



2n

) n

（2）求证：方程x2sinx在(



,)内至少有一实根

（1









而lim

n

1，lim

n

1

故由夹逼定理知原式1

注：和式极限的基本问题，利用和式分项中的最大项、最小项进行放缩，由夹逼定理完成，本题属提高题型中的简单题！

试用夹逼定理证明lim

n3

3n

n

0

（2）证明：令 f(x)x2sinx，其为在[

则f(x)在[



,]上连续，又f(



,]上有定义的初等函数， )





20，f()00

故由零点存在定理知，在(即方程f(x)0在(





,)内至少存在一点，使得f()0

,)内至少有一个根，证毕。

注：连续的基本性质问题，尽管未介绍，但其属于中学问题，理解上较容易，但在证明表述上有一定难度！

试证明方程xasinxb(a0,b0)至少有一个正根，并且它不超过ab。

函数与极限测试题答案（定稿）

函数极限

函数极限

函数极限

函数与极限(上)

函数极限与连续

第一章函数与极限

第一章函数与极限

函数极限与连续教案

函数极限习题与解析

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