拓展训练

拓展训练(2)

1.对于数列An:a1,a2,,an(aiN,i1,2,,n)，定义“T变换”：T将数列An变换成数

列Bn:b1,b2,,bn，其中bi|aiai1|(i1,2,,n1)，且bn|ana1|，这种“T变换”记作BnT(An).继续对数列Bn进行“T变换”，得到数列Cn，„，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．

（Ⅰ）试问A3:4,2,8和A4:1,4,2,9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次

写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

（Ⅱ）求A3:a1,a2,a3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；（Ⅲ）（i）证明“数列T(An)的最大项一定不大于数列An的最大项，其中n3”． （ii）证明：A4:a1,a2,a3,a4一定能经过有限次“T变换”后结束． （Ⅰ）解：数列A3:4,2,8不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2； 2,0,2；„．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形．„„„„2分 数列A4:1,4,2,9能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0 „3分 （Ⅱ）解：A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1a2a3„„4分

若a1a2a3，则经过一次“T变换”就得到数列0,0,0，从而结束． „„5分 当数列A3经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A3)为常数列，则A3为常数列”．

当a1a2a3时，数列T(A3):a1a2,a2a3,a1a3．

由数列T(A3)为常数列得a1a2a2a3a1a3，解得a1a2a3，从而数列A3也 为常数列．

其它情形同理，得证．

在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A3也为常数列．„„8分

湘潭县一中2012年高考数学压轴题训练

所以，数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1a2a3． （Ⅲ）（i）证明“数列T(An)的最大项一定不大于数列An的最大项，其中n3”．

证明：记数列An中最大项为max(An)，则0aimax(An)． 令BnT(An)，biapaq，其中apaq． 因为aq0，所以biapmax(An)，

故max(Bn)max(An)，证毕．„„9分 （ii）现将数列A4分为两类．

第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4)max(A4)1．

第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)max(A4)． 下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a0)．（其它情形同理） ① 当数列A4中只有一项为0时，

若A4:0,a,b,c(ab,ac,bc0)，则T(A4):a,ab,|bc|,c为0

或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；

若A4:0,a,a,b(ab,b0)，则T(A4):a,0,ab,b；T(T(A4)):a,ab,|a2b|,ab 此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；

若A4:0,a,b,a(ab,b0)，则T(A4):a,ab,ab,b，此数列各项均不为0，为第一 类数列；

若A4:0,a,a,a，则T(A4):a,0,0,a；T(T(A4)):a,0,a,0；T(T(T(A4))):a,a,a,a， 此数列各项均不为0，为第一类数列．

② 当数列A4中有两项为0时，若A4:0,a,0,b(ab0)，则T(A4):a,a,b,b，此数列 各项均不为0，为第一类数列；

，此数列各项均不

若A4:0,a,b,0(ab0)，则T(A):a,ab,b,0，T(T(A)):b,|a2b|,b,a，此数列 各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．

③ 当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0,a,0,0，则T(A):a,a,0,0，

T(T(A)):0,a,0,a，T(T(T(A))):a,a,a,a，此数列各项均不为0，为第一类数列．

总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．

又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．13分

nn2.记数列an的前n项和为Sn．已知向量acossin,1（nN*）和

33

nn*

ban,cossin（nN）满足a//b.

33

（1）求数列an的通项公式； （2）求S3n；



【解答】（1）∵a//b

∴an=cos

（3）设bn2nan，求数列bn的前n项的和为Tn．

2nnnnn2n2ncossincos == sincossin3333333

2n

∴ancos；

1111,,,,为,1（2）数列an:周,期为3的周期数列且2222





a3k2a3k1a3k0kN.

S3na1a2an3

a1a2a3a4a5a6a3n2a3n1a3n

11

n10.

22

2nnn

.（3）bn2an2cos3



当n3kkN时，



∵ b3k2b3k1b3k23k223k123k1523k3.

33k3

∴ TnT3k5122



当n3k1kN时，

1212



53k5

212n1.77



53k23k152n253k

TnT3k1T3kb3k2121.

777



当n3k2kN时，



TnT3k2

23k153k1123k252n5

T3k1b3k12.

7277

5n

721,n2

25故Tn,

7

2n5

,7

n3k,

n3k1,kN.n3k2,

3.已知函数yf(x),xD，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f(xT)mf(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数，周期为T.若恒有f(xT)mf(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类周期函数，周期为T.

（1）已知函数f(x)xax是3,上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的

取值范围；

（2）已知 T1，yf(x)是0,上m级类周期函数，且yf(x)是0,上的单调递增函数，当x0,1时，f(x)2x，求实数m的取值范围；

（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分.

（Ⅰ）已知当x0,4时，函数f(x)x24x，若f(x)是0,上周期为4的m级类周期函数，且yf(x)的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f(x)coskx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由.【解答】（1）由题意可知： f(x1)2f(x)，

即(x1)a(x1)2(xax)对一切3,恒成立， x1ax2x1，

∵x3

x22x1x1222

x1∴a，

x1x1x1

令x1t，则t2,，g(t)t在2,上单调递增，

t

∴g(t)ming(2)1，∴a1.（2）∵x0,1时，f(x)2x，

∴当x1,2时，f(x)mf(x1)m2x1，

当xn,n1时，f(x)mf(x1)m2f(x2)mnf(xn)mn2xn， 即xn,n1时，f(x)mn2xn，nN*，∵f(x)在0,上单调递增， ∴m0且mn2nnmn12nn1， 即m2.

（3）问题（Ⅰ）∵当x0,4时，y4,0，且有f(x4)mf(x)， ∴当x4n,4n4,nZ时，

f(x)mf(x4)mnf(x4n)mnx4n4x4n，



当0m1时，f(x)4,0； 当1m0时，f(x)4,4m； 当m1时，f(x)4,4； 当m1时，f(x),0； 当m1时，f(x),； 综上可知：1m0或0m1.

问题（Ⅱ）：由已知，有f(xT)Tf(x)对一切实数x恒成立， 即cosk(xT)Tcoskx对一切实数恒成立， 当k0时，T1；

当k0时，∵xR，∴kxR,kxkTR，于是coskx1,1， 又∵cos(kxkT)1,1，

故要使cosk(xT)Tcoskx恒成立，只有T1，

当T1时，cos(kxk)coskx 得到 k2n，nZ且n0； 当T1时，cos(kxk)coskx 得到 k2n， 即k(2n1)，nZ；

综上可知：当T1时，k2n，nZ；

当T1时，k(2n1)，nZ。

4.将1,2,3,,n这n个数随机排成一列,得到的一列数a1,a2,,an,称为1,2,3,,n的一个排列.定义a1,a2,ana1a2a2a3an1an为这个排列的波动强度.(1)当n=3时,写出排列a1,a2,a3的所有排列及对应的波动强度; (2)当n=10时,求a1,a2,,a10的最大值,并指出所对应的一个排列;

(3)当n=10时,在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整,若要求每次调整时波动强度不增加,同时对任意排列a1,a2,,a10,是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9;若可以,给出调整方案,若不可以,请给出反例并加以说明.

解(1)n=3时,排列a1,a2,a3的所有可能为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1.

1,2,32,1,3,23,2,1,33,2,3,13,3,1,23,3,2,12

(2)

a1,a2,a10a1a2a2a3a9a10转化为

a1a2a2a3a9a10,在上述18个正负号中,有9 个选正号,9 个选负号,

其中a1,a10出现一次,a2,a3,a9各出现两次.所以a1,a2,,a10可以表示为9 个数的和减去9 个数的和的形式,

若使a1,a2,,a10最大,应使第一个和最大,第二个和最小.

所以a1,a2,,a10最大为(10+10+9+9+8+8+7+7+6)-(1+1+2+2+3+3+4+4+5)=49.

所对应的一个排列为:5,7,1,8,2,9,3,10,4,6.

(3)不可以.例如排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6,除调整1,2外,其它调整都将使波动增加,调整1,2波动不变.所以只能将排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6调整为10,9,8,7,2,1,3,4,5,6.

对于10,9,8,7,2,1,3,4,5,6仍然是除调整1,2外,其它调整都将使波动强度增加,所以仍只能调整1,2两个数字.如此不断循环下去,不可能经过有限次调整使其波动强度降为9.

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