高中数学推理与证明(第7讲)

第 7 讲 推理与证明

2，>>，„若a>b>0且m>0，则() 10811102521a＋ma

A．相等B．前者大

推理与证明是数学的基本思维过程，它有机地渗透到高中数学的各个章节，是高考必考的内容之一．新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求．因此在学习过程重视合情推理与演绎推理．高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主．

【知识梳理】

1、归纳推理：是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤 

通过观察个别情况发现某些相同的性质

从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题猜想证明

2、类比推理：是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤 

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征从而得出一个猜想 检验猜想。

3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实经过观察、分析、比较、联想再进行归纳、类比然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理

4、演绎推理 从一般性的原理出发推出某个特殊情况下的结论演绎推理的一般模式———“三段论”包括

⑴大前提-----已知的一般原理

⑵小前提-----所研究的特殊情况

⑶结论-----据一般原理对特殊情况做出的判断

5、直接证明与间接证明

⑴综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证最后推导出所要证明的结论成立.要点顺推证法由因导果.⑵分析法从要证明的结论出发逐步寻找使它成立的充分条件直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件、定理、定义、公理等为止.要点逆推证法执果索因.

⑶反证法一般地假设原命题不成立经过正确的推理最后得出矛盾因此说明假设错误从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤

①反设假设命题的结论不成立

②推理根据假设进行推理,直到导出矛盾为止

(3)归谬断言假设不成立 (4)结论肯定原命题的结论成立.

6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.

用数学归纳法证明命题的步骤; 

(1)归纳奠基证明当n取第一个值时命题成立

(2归纳递推假设k=n 时命题成立推证当k=n+1时命题成立.

【金题精讲】

【例1】ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：113 abbcabc

【例2】4．设f(x)sin(2x)(0),f(x)图像的一条对称轴是x

（1）求的值；

（2）求yf(x)的增区间；

（3）证明直线5x2yc0与函数yf(x)的图象不相切。 8.

【例3】．（2102福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。

【例4】用数学归纳法证明123n2222n(n1)(2n1)，(nN) 6

变式：数学归纳法证明： 11111nn 23421

【达标训练】

1用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

(A)假设三内角都不大于60度；(B) 假设三内角都大于60度；

(C) 假设三内角至多有一个大于60度；(D) 假设三内角至多有两个大于60度。

2.（2012陕西）察下列不等式

113 222

115123， 233

11151222 2343

„„

照此规律，第五个不等式为.．．．

3.（2012湖北）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：

4已知n为正偶数，用数学归纳法证明

111111112()时，若已假设nk(k2为偶 234n1n2n42n

（ ）

B．nk2时等式成立

D．n2(k2)时等式成立数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证A．nk1时等式成立 C．n2k2时等式成立

5一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（）

A．12B.13C.14D.15

6数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn=（）

2n1 A．n1 22n1B．n1 2C．n(n1) 2nD．1－12n1

8设a，b，x，y∈R，且

1119已知正数a,b,c成等差数列，且公差d0，求证：,,不可能是等差数列。 abc

；

10知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；

(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

【高中数学】推理与证明

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第15章 推理与证明知识结构

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