“不等式”教材分析与教学建议
一、教材分析 1.地位与作用
“相等”与“不等”是现实世界数量之间的两种基本关系，就像等式表达的是相等关系一样， 不等式是表达不等关系的一种数学表示形式。不等式作为本章的第一单元， 是在学习了等式性质、一元一次方程和二元一次方程组之后， 学生已初步建立用等式和方程刻画相等关系的数学模型的基础上，展开对不等式的学习。体会不等式是研究不等关系的有效数学模型， 可以更好地认识事物运动变化的规律。
在研究不等问题的过程中绕不开与相等关系的类比， 类比既是一种数学思想， 用它可以引导学生进行探究性学习， 也是数学学习中一种常用的研究问题的方法。本章第一单元“不等式”，从知识的角度看，是后两节“实际问题与一元一次不等式”“一元一次不等式组” 的基础，从方法的角度说， 这种类比研究问题的方法， 对以后的研究学习也起到了引领示范的作用。 2.内容安排
本单元的主要内容包括： 不等式及其解集的相关概念，不等式的性质、一元一次不等式、利用不等式的性质解不等式，共2节。全单元将实际问题贯穿始终，对不等式概念引入，及其解法的讨论都在解决实际问题过程中进行，在体现不等式中蕴涵的数学建模思想和解不等式中蕴涵的化归思想的同时，也使该单元的难度有所增加，对此应多加注意。
章前图是与第9.2节的选择购物商店问题情景相对应，与本单元关系不大。但利用好章前图下方的文字，则会使问题的引入自然、轻松。首先，从第一段“比较班上同学身高、体重、臂力”的文字中， 学生会发现在学习本章之前， 关于不等关系其实在生活中早已不自觉地应用过了； 而第二段则将有理数大小的比较， 三角形两边之和大于第三边这些已学过的七年级数学的经典内容拿出来， 除了让学生感受不等式在数学中的应用外， 还为研究不等式的性质埋好了伏笔； 第三段则对本章内容的地位与作用进行了简述；第四段则把本章要研究的问题说了个明白。理解好这些，对于如何引出本单元内容，会有帮助。
第9.1.1节中，首先从一个具体行程问题情景引入，让学生感受如何用数学的眼光去分析现实生活中随处可见的不等关系，在经历将实际问题转化成数学问题的过程中，发展了学生的符号表达能力，自然地引出了不等式的概念，以及几种常见的不等式。在含有未知数的不等式中，由未知数的取值，进一步引出了不等式的解，不等式的解集的概念。整个过程的设计自然流畅，与方程的类比贯穿始终，既提高了学生用数学的意识、转化问题的能力，也在学习的过程中，和等式的有关知识、方程解的定义相呼应。在教学的过程中，教师可以根据教学实际选择合适的时机，引导学生将等式与不等式的相关概念进行对比，以便更深刻地理解概念的内涵。 教材“思考” 栏目的设置， 让学生更清楚地体会出不等式的解与方程的解的不同之处， 为接下来解集概念的得出做好了准备。对于解集的表示， 教材从“ 数” 和“ 形” 两方面入手：一种是用式子形式（即用最简形式的不等式x＞a 或x＜a）；另一种是用数轴， 标出数轴上的某一区间， 其中点对应的数值都是不等式的解。注意，教材中对于用数轴表示解 集的表述可以再清晰一点，比如：“不等式x＞75的解集可以用数轴上表示75的点的右边部分来表示”。数轴表示解集， 进一步加深了对不等式解集的理解，使学生体会到解集的连续性，也为学习不等式组的解集做好了铺垫。数轴表示解集的另一个作用是告诉人们： 如此可以避免用式子形式表示不等式组的解集时还要去死记硬背口诀之类的做法（这是后话）。接下来继续类比一元一次方程， 给出一元一次不等式的概念。 第9.1.2 节从解不等式的需要出发，讨论不等式的基本性质，它们是解不等式的依据。教材先通过数字运算的大小比较，类比等式的性质，归纳出不等式的三条基本性质。用符号语言 表示不等式的性质，使书写更加简明。接着教材安排利用不等式的性质解不等式的例题1。通过例1加深了不等式性质的理解，了解解一元一次不等式的基本目标（使不等式逐步转化为x＞a或x＜a的形式）， 体会解法中蕴涵的化归思想。并能在数轴上表示出解集，体现数形结合思想。例2展示了一个生活中常见的带“≤” 关系的例子， 让学生弄清题中的基本数量关系， 注意问题的实际意义。通过例3，应用不等式的变形，得出“三角形中的任意两边之差小于第三边”的结论。教材在本单元结束后还安排阅读与思考“用求差法比较大小”。从多方面体现不等式在实际生活中的用途，拓宽了学生的视野，提高了学生的数学应用意识。 3.学习重点和难点 本单元的重点：（1）认识不等式解的概念和不等式解集的概念的联系与区别。（2）理解不等式的性质，会利用不等式性质解简单的一元一次不等式， 并能在数轴上表示出不等式的解 集。本单元的难点：（1）不等式的性质3的认识和应用； （2）列不等式表示实际问题中的不等关系。突破难点的关键：（1） 引导学生经历观察、类比和归纳不等式的性质的探索过程，加深对不等式的性质3的理解；让学生比较不等式的性质2和3的区别，以及等式的性质和不等式的性质的异同，加深对不等式的性质3的认识；适当加强练习，及时纠正易错点，强化不等式的性质3的应用。（2）引导学生分析实际问题情境， 弄清其中的不等关系，启 发学生从多种角度思考数量之间的大小关系，依据不等关系列出含未知数的不等式，解决实际问题。 4.课时安排略
二、教学建议
1.承上启下温故知新
本单元是在学习了等式性质、一元一次方程和二元一次方程组之后，展开不等式学习的。方程与不等式都是“ 数与代数” 部分的内容， 都是刻画现实问题的模型， 一个刻画的是现实世界中的相等关系， 一个刻画的是现实世界中的不相等关系。在教学的过程中， 教师应当引导学生从相同之处找到研究问题的方法，从不同之处探求新知所在。
教材在给出一元一次不等式及其相关概念时，注意与方程有关知识进行类比； 类比等式的性质学习不等式的性质； 解不等式的过程与解方程的过程进行比较，都运用化归思想，变形为最简形式（不等式化为x＞a或x＜a的形式，方程化为x=a的形式）。教材中注意了新旧知识联系， 同时又强调它们的区别。如解不等式与解方程的不同之处， 解不等式要将未知数的系数化为1时，根据未知数系数的正负，决定不等号的方向。新旧知识的对照，加强了知识间的横向联系，突出新知识的特点，加深对新知识的理解。 2.重在引导发展能力
本单元教材在引出和归纳知识点时， 会设置“ 思考” 栏目， 以问题、填空等形式引导学生自主探索， 激发学生进行思考，促进合作交流。改进教与学的方式， 使学生乐意投入到现实的探索性数学活动中去。 案例1 不等式性质的探索过程
思考：用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律： （1）5＞3，5+2____3+2，5-2____3-2；
（2）- 1 ＜ 3 ，3 ____3-3；
（3）6 ＞ 2 ， 6 × 5____2 × 5 ，6 × （ - 5 ） ____2×（-5）； （4）-2＜3，（-2）×6____3×6，（-2）×（-6）____3×（-6）。 根据发现的规律填空： 当不等式两边加上或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向_____。当不等式两边乘同一个正数时， 不等号的方向_____； 而乘同一个负数时， 不等号的方向_____。
通过“ 思考” 栏目， 让学生观察具体数字运算的大小比较， 总结其中的规律。接着对比等式的性质填空，从而归纳出不等式的三条基本性质。让学生经历观察、对比和归纳，探索不等式性质的过程。教材设置的“思考”栏目和填空， 给学生起到一个引导和归纳的作用， 有利于提高学生的探究能力和归纳能力，发展学生思维，让学生学会用多种策略分析解决问题， 体验数学活动充满着探索性和创造性。 3.互为依存偏重方法 教学的过程，是知识产生的过程，也是思想方法渗透的过程。知识的落实是课堂的明线， 思想方法的指引是数学课堂的灵魂。不等式的概念产生的过程， 既是基本知识落实的过程， 也是数学建模思想渗透的过程。解不等式的过程，也是化归思想渗透的过程。 案例2 不等式概念的建立 通过一个具体的行程问题，“一辆匀速行驶的汽车在11∶20距离A地50千米，要在12∶00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ ”
对于不等关系还认识较浅的学生而言，这是一个比较开放、有一定难度的实际问题，在教学过程中，老师可以充分发挥学生的主观能动性， 将问题抛给学生，鼓励学生多角度思考，多种方法解决。从学情分析来看，学生解答此类问题不外乎从列等式和不等式两个角度入手， 再就是考虑路程会有怎样的关系式？ 考虑速度或时间又会怎样？ 如果学生列出的是等式，无非下面三种情况： 23x=50， 50x= 23，x=50÷ 23，此时教师应该首先肯定学生的做法有 一定道理， 然后引导学生分析题目中的关键词语， 体现的是一种相等关系还是不等关系，比如“之前”“驶过”，从如何体现这些关键词语入手， 将方程过渡到不等式，这个学习过程，表面看耗时费力， 实质上却更好地体现了等式和不等式都是刻画现实问题的有效模型，对比出了等式和不等式的异同，更好地体现了教材的设计意图， 并且为接下来的等式和不等式的进一步类比做好铺垫， 这个引例的选取可谓独具匠心，执教者需反复揣摩，才能领会其中的深意， 在这个问题的教学中舍得花费点时间是值得的。 4.双基落实重在及时
一元一次不等式是最基本的代数不等式，对它的理解和掌握对于后续学习具有重要的基础作用。但由于本单元是以实际问题为线索展开的， 教材并没有安排一节内容来专门介绍解 一元一次不等式， 而是把不等式的解法（含有括号和分母的不等式）放在了9.2解决实际问题的过程中学习， 把利用移项解不等式这一知识点通过9.1.2中的例3，马马虎虎地过去了，把例3前需要用到不等式组才能解决的例2 按了进来， 这需要老师们对教材进行适当整合。利用不等式解决实际问题对于学生来说，本来就是一个难点，如这时缺乏对不等式解法的分析归纳， 忽视它们， 不利于学生巩固基础知识和基本技能。所以教学中要及时对解不等式进行归纳整理，安排必要的、适量的练习，为后面学习打好基础。 案例3 一元一次不等式的解法 利用不等式的性质解下列不等式： （1）x-7＞26；（2）3x＜2x+1； （3） 23x＞50；（4）-4x＞3。
这是第9.1.2中的例1。建议在例1前增加一个正向应用不等式性质的问题，例如习题9.1中的第5题可以改造为设m＞n，用“＜”或“＞”填空并说明理由： （1）m-5____n-5；（2）m+4____n+4； （3）6m____6n；（4）-13m____- 13n。 增加这一类问题的目的，在于让学生学会用不等式的性质说理的同时，为不等式三条性质的灵活应用夯实基础， 并使学困生也能循序渐进地掌握不等式三条性质，并能够灵活应用。 通过解例1的4个不等式， 了解解一元一次不等式的基本目标（使不等式逐步转化为x＞a或x＜a的形式），从中体会解法中蕴涵的化归思想。
