人教A版选修4—2《矩阵与变换》教材解读与教学建议
金克勤
“矩阵与变换”这一模块是高中新课程中的新增内容，为了提高对新增内容教学的认识，更准确地把握教学要求，结合教学实践对《矩阵与变换》作教材解读。
一、教学要求解读 1．基本要求
（1）理解二阶矩阵的概念。
（2）了解线性变换与二阶矩阵之间的关系。
（3）掌握旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示。
（4）了解变换和矩阵相等的概念。
（5）了解二阶矩阵与向量相乘的概念，会用矩阵与向量的乘积表示线性变换。 （6）了解线性变换的基本性质。
（7）了解一些重要的线性变换对单位正方形区域的作用。 （8）理解复合变换的意义。
（9）了解矩阵与矩阵相乘的意义，会用矩阵的乘法表示复合变换。 （10）掌握矩阵乘法的性质。
（11）理解逆变换的概念，根据变换与矩阵的关系理解逆矩阵的意义。 （12）会利用二元一次方程组求逆矩阵。
（13）会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质，并了解其在变换中的意义。
（14）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。 （15）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。 （16）会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。
（17）会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。
（18）初步了解矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
（19）初步会求二阶方阵的特征值与特征向量。
（20）初步利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示。 （21）初步了解三阶或高阶矩阵。 （22）了解矩阵的应用。 2．发展要求
（1）从代数和几何的角度理解矩阵乘法的性质。 （2）了解各种变换矩阵逆矩阵的意义。 （3）特征向量与特征值的应用。 3．对教学要求的解读 （1）深入浅出，扩展视野。
矩阵与变换这一专题，是中学课程内容的延伸与拓展，它以初中数学平面几何知识为基础（学生熟悉对称变换、轴对称变换、中心对称变换、放缩变换等为背景）开展研究，以低维度的二阶矩阵为研究对象，通过几何图形的变换研究二阶矩阵。通过从学生熟悉的情境提出问题，引入矩阵与变换内容，把矩阵作为几何变换的一种表示，着重突出矩阵的几何意义，矩阵的运算的几何意义，矩阵的逆的几何意义，矩阵的特征值、特征向量的几何意义，为进一步从代数的角度认识矩阵提供了一个直观的、生动的、具体的模型。在分析和解决问题过程中，使学生加深对数学的理解，掌握数学理论、思想方法。力图通过学生熟悉的语言、实例、图形等多种方式介绍有关数学内容，使学生在思想上对矩阵、变换等有一个初步的了解，学习重要的数学思想，为进一步学习和工作打下基础。但“矩阵与变换”既不是科普读物，也不是理论专著。应在充分的活动、操作的基础上，使学生理解专题中的核心概念和基本数学思想，突出学生解决问题的思想方法，不追求数学的形式化。 （2）展现过程，注重联系。
在“矩阵与变换”基本概念和结论的学习中，应充分强调“过程性”。教学通过由学生熟悉的平面图形的轴对称变换，然后用映射的语言重新叙述之，接着在平面直角坐标系中进一步进行研究，得到这个变换的坐标变换公式，它可以由一个二阶矩阵完全确定，并给出本专题中研究问题的基本思想——类比解析几何中对曲线与方程的讨论，对二阶矩阵与某些几何变换进行类似的研究，最后明确本专题的主要内容。安排了从具体线性变换的实例中抽象概括出基本概念和重要结论的活动，以引导学生经历基本概念、重要结论的发生发展过程。同样的，在引入二阶矩阵、矩阵和向量的乘法、矩阵的乘法、逆矩阵等基本概念时，在讨论线性变换的基本性质、矩阵乘法的运算律、逆矩阵的性质、用变换的观点来认识解二元一次方程组的意义时，都充分地展现了它们的发生发展过程。这样既使学生感觉到这些概念和结论是自然的而不是强加于人的，同时也有助于对这些基本概念、重要结论的理解。 （3）感性认识，强调直观。
矩阵的有关概念和结论比较抽象，要求充分利用几何直观、利用矩阵所对应的线性变换来介绍这些抽象的概念和结论，从而有效地“化解了”矩阵内容的抽象性。由于平面上的线性变换与二阶矩阵是一一对应的，因此，本专题在研究二阶矩阵时，常常通过研究矩阵对应的几何变换（线性变换）来进行。对于每个概念和结论，总是先通过具体的线性变换从几何直观上获得感知，进而抽象出矩阵中一般性的概念或结论，再从理论上对结论进行严格证明。这样就使原本抽象、难以理解的结论变得自然、易于理解；通过两次具体的线性变换的实例，引入二阶矩阵的乘法；并且通过学生熟悉的几何变换的实例，说明矩阵的乘法不满足交换律和分配律；通过旋转变换、切变变换等具体的线性变换，借助于几何图形，充分利用几何直观，引入逆矩阵的概念，引出并理解逆矩阵的性质；通过分别考查在两个几何变换（关于轴的反射变换、伸缩变换）作用下的“不变”直线，进而考察“不变”向量，引入矩阵的特征值、特征向量的概念，并通过这两个几何变换感知特征向量的性质；教材还从线性变换的角度来认识解二元一次方程组的意义。
总之，本专题中，矩阵中的所有概念和结论都是先通过具体的几何变换使学生获得感知的，借助几何直观，有利于学生理解抽象的代数内容，从而也降低了矩阵内容的抽象程度。借助几何变换（线性变换）研究二阶矩阵是本专题的基本出发点。
（4）渗透思想，适度抽象。
本专题中涉及类比、从特殊到一般、从具体到抽象、“数形”结合、算法等多种数学思想方法。在引入概念、得出结论的过程中，适当渗透并运用数学思想方法是本专题教学的一个重要原则。
例如，类比解析几何中研究曲线与方程的方法，讨论线性变换与二阶矩阵。曲线与方程是一一对应的，由曲线的性质可以研究对应的方程，由方程的性质也可以研究对应的曲线．与此类似，二阶矩阵与平面上的线性变换也是一一对应的，因而，我们既可以通过二阶矩阵来研究对应的线性变换，也可以通过平面上的线性变换来研究对应的二阶矩阵．本专题中，更多地是通过线性变换来研究对应的二阶矩阵。引导学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，获得一般性的概念和结论，使学生理解概念和结论。
二、教学建议
1．重视引言部分的教学
引言部分从学生已经学习过的平面图形的轴对称、旋转、相似等变换入手，让学生了解图形是由点组成的，只要知道了图形上每个点的位置，就确定了图形的变换。平面上的变换，是一种对应关系，将平面上每个点P对应到平面上某一点P
\'。平面上建立了直角坐标系，就可以知道变换前的点的坐标（x，y）与变换后的点的坐标（x’，y’）之间的函数关系，也就确定了平面上的变换。平面内许
abxaxby,多几何变换都具有形式而这个变换可以由二阶矩阵完全确ycxdy.cd定。在教学过程中要体现数学的思想和方法，让学生了解数学中经常通过引入新的工具，建立不同对象之间的联系来研究问题，这是重要的数学方法。类比解析几何中的曲线与方程，由于曲线与方程是一一对应的，由曲线的性质可以研究对应的方程，由方程的性质也可以研究对应的曲线，本专题学习的目的是以矩阵为工具，研究一些几何变换，以平面图形的变换为背景，讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量的概念，用变换的观点理解二元一次方程组的意义，了解矩阵应用的广泛性。
2．关于线性变换与二阶矩阵的教学
矩阵是一个非常有用的数学工具，但它是一个很抽象的数学概念。要从熟悉的生活实例出发，自然地引入概念，学生就不会为概念的空洞、抽象与难学而烦恼。教师应该从具体实例入手，突出矩阵的几何意义，遵循从具体到一般，从直观到抽象的教学原则。教学中应采用“问题情境——引导探究——抽象概括”的教学方式，紧密结合线性变换，引入矩阵的有关概念、得出矩阵的性质。要使学生了解线性变换与二阶矩阵是一一对应的，矩阵作为线性变换的一种表示，教
xaxby,学中应着重突出矩阵的几何意义，让学生了解任何一个线性变换都
ycxdy,xabx可以表示成为，即一个二阶矩阵与一个向量的乘积，同样，任ycdy何一个二阶矩阵都唯一确定了一个线性变换。要强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义理解，使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础。
对于线性变换的矩阵表示，应该帮助学生通过具体的实例，寻找旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换和恒等变换所对应的矩阵，伸缩变换是沿x轴或y方向的伸缩变换，对于其他方向的伸缩变换，在本专题不作研究，但要了解通过坐标的变换（基底的选择）总可以使这些变换对应于教材所给出的矩阵，即不同基底下的变换矩阵是相似的。性质1的本质表明二阶矩阵所表示的变换是线性变换，性质2则是线性变换的几何特征，在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线时，可先复习由两个不同向量α，β的终点所确定的直线l可表示为γ=λ1α＋λ2β（λ1＋λ2=1），线性变换对单位正方形区域的作用是要使学生从几何直观理解变换的特征，从“形”上认识线性变换，进一步加深对线性变换及其基本性质的理解。
要使学生了解矩阵与变换是不同的数学概念，从不同的侧面描述事物的客观规律，变换和它的矩阵分别从几何与代数角度描述同一事物，两种方法各具特色，从中体会数学揭示客观规律的深刻性，数学的抽象性更有助于人们对问题的思考。
3．关于变换的复合与二阶矩阵的乘法教学
教学中要通过实例考查在直角坐标系内连续施行两次线性变换的作用效果是否能用一个线性变换表示，引入线性变换的复合，介绍二阶矩阵的一种重要运算——矩阵的乘法，要了解矩阵的乘法规则其实就是求这两个向量数量积的规则，矩阵乘法AB的几何意义是对向量连续实施的两次几何变换的复合变换。要使学生理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，从几何变换的角度来看，它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换。教学中要通过各种具体的例子帮助学生进一步理解矩阵的乘法；通过类比实数乘法的运算律，研究二阶矩阵乘法的运算律，证明矩阵的乘法满足结合律，通过学生熟悉的某些二阶矩阵所对应的线性变换对单位正方形区域的作用结果，得到矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律和消去律。矩阵乘法不满足交换律，这可能是学生第一次遇到乘法不满足交换律的情况。此时，可以从几何变换角度进一步明确矩阵的乘法一般不满足交换律，在适当的时候,有些特殊几何变换(如两次连续旋转变换)满足交换律。 4．关于逆变换与逆矩阵的教学
教学中要借助几何图形、充分利用几何直观，了解逆变换的意义，并在此基础上引入逆矩阵的概念，对于旋转、反射、伸缩、切变变换，要引导学生从几何直观上给出其逆矩阵，并了解逆矩阵可能会不存在，要使学生认识到旋转、反射、伸缩、切变变换（矩阵）的逆变换（矩阵）仍是旋转、反射、伸缩、切变变换（矩阵）。从线性变换的可逆性出发，引出并理解逆矩阵的性质，利用同一法证明可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，要求学生掌握性质(AB)-1=B-1A-1的证明，要求学生会用解方程组的方法求解一般二阶矩阵的逆矩阵。作为发展性的要求，可以在学习了逆矩阵的性质后，让学生用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律。
要使学生了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组，对于二阶行列式，只是将它作为一个工具来使用，不能作为重点，不要展开讨论。要引导学生从线性变换的角度来认识解二元一次方程组的意义，从代数的角度讨论矩阵与方程组的关系，用变换或映射的观点理解解方程组的意义，认识到求逆矩阵方法的多样性，从几何上讨论方程组解存在的唯一性。利用逆矩阵求二元一次方程组并不见得简便，但提供了一种一般性的方法，当未知元很多时，矩阵就成了一个研究的有力工具，这里强调的是思想方法，对于利用矩阵解二元一次方程组无需做大量的练习。
5．关于变换的不变量与矩阵的特征向量的教学
德国数学家克莱因（F.Klein）在1872年运用变换群的思想来区分各种几何学，他提出，每一种几何都是研究图形在一定的变换群下不变的性质。因此对变换的不变量的研究是十分重要的。引导学生通过考查在关于轴的反射变换、伸缩变换作用下的不变直线，进而考查“不变”向量，引入矩阵的特征值、特征向量的概念，所谓“不变”就是在一个线性变换下，一些特殊的向量通过变换，变成了与自身共线的向量。教学中要通过具体的例子给出矩阵的特征值、特征向量与变换的特征值、特征向量的关系，通过这两个几何变换感知特征向量的性质，要从几何变换的角度讨论矩阵的特征向量定义以及用特征向量作为不变量的意义，不应只从定义上形式地理解。将矩阵的特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量的乘法表示来理解，其目的在于引出矩阵的特征多项式。对于特征方程f()acb2(ad)adbc，教材没有对特征方程作展开讨论，d其意图是仅仅让学生将之作为一个工具，对于一些重要的线性变换，要能从直观上说出其特征向量，可将直观观察的特征值与特征向量和利用特征方程求解特征值与特征向量结合起来，互相印证，用形的直观来探索，用数的严谨来求解。特征值和特征向量的概念对于学生来说比较难于理解，教学时一定要结合具体的几何变换进行。利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα的简单表示，了解它的几何意义，并知道它的简单应用。
6．关于学习总结报告
学习总结报告是学习过程中的一个重要内容，学习总结报告应该包括知识的总结、应用和拓展、感受和体会等三部分，教师要创设科学、多元的评价方式，既要关注学生的学习结果，又要关注学生的学习过程，鼓励学生创造性地提出问题、分析问题和解决问题，提供学生进行合作学习和研究性学习的学习方式，激励学生对感兴趣的问题进行深入的思考，激发学生利用现代信息技术进行数学探究的兴趣，关注学生的独立学习和小组交流过程中表现出的合作的态度、交流的意识和探索的精神。
