届高考数学一轮复习10.5 二项式定理教案

发布时间：2020-03-02 20:56:42 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

10.5 二项式定理

●知识梳理

1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.●点击双基

9291.已知（1－3x）=a0+a1x+a2x+…+a9x，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于

999A.

2 B.4

3 D.1 解析：x的奇数次方的系数都是负值，

∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9.∴已知条件中只需赋值x=－1即可.答案：B 2.（2004年江苏，7）（2x+x）的展开式中x的系数是 A.6

42B.12

C.24

D.48 解析：（2x+x）=x（1+2x），在（1+2x）中，x的系数为C24·2=24.答案：C 3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x－A.14

1x）的展开式中常数项是

C.42

B.－14

D.－42

r7r

）=C72·

r解析：设（2x－1xr）的展开式中的第r+1项是Tr1=C7（2x）7r（－

1xr3(7x)r2（－1）·x，

当－r61+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C67（－1）·2=14.23213答案：A 4.（2004年湖北，文14）已知（x+x

5）的展开式中各项系数的和是128，则展开式

n中x的系数是_____________.（以数字作答）

解析：∵（x+x3213）的展开式中各项系数和为128，

nn∴令x=1，即得所有项系数和为2=128.

r∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为Tr1=C7（x）7r·（x3213r）=C7·xr6311r6，

令6311r5=5即r=3时，x项的系数为C37=35.6答案：35

5.若（x+1）=x+…+ax+bx+cx+1（n∈N），且a∶b=3∶1，那么n=_____________.2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11.nn32*答案：11 ●典例剖析

【例1】如果在（x+理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2×

124x）的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有

nnn(n1)，， 28n(n1)n=1+，得n=8.281·xr2163r4设第r+

1r项为有理项，Tr1=C8·

，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.351x，T9=.28256x评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r.

13【例2】求式子（｜x｜+－2）的展开式中的常数项.

|x|11113解法一：（｜x｜+－2）=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到|x||x||x||x|13常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）；②一个括号取｜x｜，一个括号取，

|x|有理项为T1=x，T5=41一个括号取－2，得C13C2（－2）=－12，

∴常数项为（－2）+（－12）=－20.解法二：（|x|+31136－2）=（|x|－）.|x||x|设第r+1项为常数项，

r则Tr1=C6·（－1）·（r1r6r）·|x|6r=（－1）·C6·|x|62r，得6－2r=0，r=3.|x|∴T3+1=（－1）·C36=－20.3思考讨论

（1）求（1+x+x+x）（1－x）的展开式中x的系数； 23

444－4）的展开式中的常数项； x34503（3）求（1+x）+（1+x）+…+（1+x）的展开式中x的系数.（2）求（x+1x4746444解：（1）原式=（1－x）=（1－x）（1－x），展开式中x的系数为（－1）C6－

1x1=14.

- 2

1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为

20A.20 B.2C.2D.2－1 220解析：C120+C20+…+C20=2－1.

20答案：D 2.（2004年福建，文9）已知（x－则展开式中各项系数的和是

8 A.2B.3r解析：Tr1=C8·x8－r－1

）展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，x

C.1或3

r8－2r8

D.1或2

8r·（－ax）=（－a）C8·xr.令8－2r=0，∴r=4.4∴（－a）C8=1120.∴a=±2.4当a=2时，令x=1，则（1－2）=1.

88当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）=3.答案：C 3.（2004年全国Ⅳ，13）（x－

1x）展开式中x的系数为_____________.

r解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x8－r·（－

1xr）=（－1）C8xrr83r2.令8－3r522=5得r=2时，x的系数为（－1）·C8=28.21xxr答案：28 4.（2004年湖南，理15）若（x+

323

）的展开式中的常数项为84，则n=_____________.

93nr2n解析：Tr1=Crn（x）3

n－r·（x）=Crn·x.9r=0，∴2n=3r.2∴n必为3的倍数，r为偶数.令3n－

6试验可知n=9，r=6时，Crn=C9=84.答案：9 5.已知（xlgx+1）展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，n求x的值.2n1n解：由题意Cnn＋Cn＋Cn=22， 10即C2n＋Cn＋Cn=22，

∴n=6.∴第4项的二项式系数最大.lgx∴C3）=20000，即x6（x3

3lgx=1000.∴x=10或x=1.10培养能力

652116.若（1+x）（1－2x）=a0+a1x+a2x+…+a11x.求：（1）a1+a2+a3+…+a11；（2）a0+a2+a4+…+a10.65211解：（1）（1+x）（1－2x）=a0+a1x+a2x+…+a11x.令x=1，得 a0+a1+a2+…+a11=－26，

又a0=1，

6所以a1+a2+…+a11=－2－1=－65.（2）再令x=－1，得

a0－a1+a2－a3+…－a11=0.

①+②得a0+a2+…+a10=

①

②

（－2+0）=－32.2评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1.mn127.在二项式（ax+bx）（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求r解：（1）设Tr1=C12（ax）

ma的范围.br·（bx）=C12anr12－rrm（12－r）+nr12－rbx为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项.（2）∵第5项又是系数最大的项，

43C12ab≥C12ab， 84

②

①

∴有 45C12ab≥C12ab. 8475

12111098412111093

ab≥ab，

43232a99∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤.44ba88a9由②得≥，∴≤≤.5b4b5由①得8.在二项式（x+124x）的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.

n分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项.解：前三项系数为C0n，

11121220Cn，Cn，由已知C1=C+Cn，即n－9n+8=0， nn244解得n=8或n=1（舍去）.

rTr1=C8（x）（2x）8－r4－rr=C8·

414.·xr23r∵4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z， 44∴r=0，r=4，r=8.∴展开式中x的有理项为T1=x，T5=评述：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－探究创新

9.有点难度哟！

351x，T9= x－2.82563r3r∈Z即可，而不需要指数4－∈N.441n*）

11[1()n1]1111111n12++…+2.所以2

nr1.在使用通项公式Tr1=Crb时，要注意： nar（1）通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项.（2）展开式中第r+1项的二项式系数Crn与第r+1项的系数不同.（3）通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n.2.证明组合恒等式常用赋值法.●教师下载中心教学点睛

1.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.2.要注意区分项的系数与项的二项式系数.3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握.拓展题例

10343【例题】求（a－2b－3c）的展开式中含abc项的系数.10解：（a－2b－3c）=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），从10个括号中任取3

个括号，从中取a；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中取－2b；最后从剩余的3个括号

343434中取－3c，得含abc的项为C10aC7·（－2b）C33（－3c）=C10C7C32（－3）abc.所以343

334334含abc项的系数为－C10C7×16×27.343