11.3二项式定理
考情分析
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
基础知识
1．二项式定理
n1n－1n－rrn*(a＋b)n＝C0b＋„＋Crb＋„＋Cnna＋Cnananb(n∈N)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．
其中的系数Crn(r＝0,1，„，n)
n－rrn－rr式中的Crb叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crb.nana
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为(3)字母an逐项减1直到零；字母b幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.－11(4)二项式的系数从Cn，一直到Cnn3．二项式系数的性质 －(1).
(2)增减性与最大值： 二项式系数Ckn，当n＋1k＜2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；
n当n是偶数时，中间一项C2取得最大值；
n－1n＋1当n是奇数时，中间两项C2，C2取得最大值．
012nn(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋„＋Crn＋„＋Cn＝2；
24135n－1C0.n＋Cn＋Cn＋„＝Cn＋Cn＋Cn＋„＝
2注意事项
n－rr1.运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Crb，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相na
同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项
展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Cr而后n，者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．
2.二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．
3.(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．
(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．
4.(1)对称性；
(2)增减性；
(3)各项二项式系数的和； 以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．
题型一 二项展开式中的特定项或特定项的系数
13【例1】已知(3x－)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7x
项的系数是()
B.2
4D.252 A.－24C.－252
答案：D
解析：令x＝1可得各项系数之和为2n＝256，则n＝8，故展开式中第7项的
26系数为C68×3×(－1)＝252.
a【变式1】若x－6展开式的常数项为60，则常数a的值为________． x
a6－r6－3r解析 二项式x6展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr(a)rx－2r＝Cr(－6x6xx
2a)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知C6a＝60，解得a
＝4.
答案 4
题型二 二项式定理中的赋值
【例2】已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋„＋a10(1－x)10，则a8＝
()
A.180
C.－
5答案：A
10－r解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：Tr＋1＝Cr(－1)r(1－x)r，a8102B.90 D.5
是r＝8时，第9项的系数．
28所以a8＝C8102(－1)＝180.故选A.
【变式2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋„＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|.
解 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋„＋a7＝－2.
－1－37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.2
－1＋37(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1 093.
(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.
题型三 二项式的和与积
2【例3】二项式(x＋x)(1－x)4的展开式中x的系数是________．
答案：
32解析：利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有x(－x)4和
x·14，求和后可得3x，即展开式中x的系数为3.
2【变式3】xx－x7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)．
272737解析 原问题等价于求x－x的展开式中x的系数，x－x的通项Tr＋1＝Cr7x
－r2r7－2r－x＝(－2)rCr，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系数为(－2)2C27x7＝84，即
xx－2x7的展开式中x4的系数为84.
答案 84
重难点突破
【例4】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋„＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|.
解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1， 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.
(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋„＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，
－1－37得a1＋a3＋a5＋a7＝2＝－1094.
(3)(①＋②)÷2，
－1＋37得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1093.
(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零， 而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)． ∴由(2)、(3)即可得其值为2187.
① ②
