届高三数学精品复习之排列组合及二项式定理

2011届高三数学精品复习之排列组合及二项式定理

1.熟悉排列数、组合数的计算公式；了解排列数、组合数的一些性质：①(n1)!(n1)n!， 由此可得：nn!(n1)!n!，n11，为相应的数列求和创造了条件； (n1)!n!(n1)!

mnmrrrrr1mm1m②Cn；③CnCnCn1Cn1，由此得：CrCr1Cr2CnCn1；

34354320193=___________ 11212312318

213243542019n(n1)解析：原式=；记an，数列{an}的前12121212122[举例] 119项和即为所求。记数列{an}的前n项和为Sn；该数列的求和办法有很多种，但都比较烦琐，这里介绍用组合数性质求解：注意到ann(n1)2=Cn1，2[来源学*科*网Z*X*X*K]

22223223222=C3=C4= S19=C2C3C4C20C4C20C3C4C20

3„=C21=1330；

[巩固1]设xN且x10，则(20x)(21x)(29x)等于（）

1020x910（A）A20x（B）A29x（C）A29x（D）A29x*

[巩固2] 已知(1

则n=____ x)n的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，

2．解排列组合应用题首先要明确需要完成的事件是什么；其次要辨析完成该事件的过程：分类相加（每一类方法都能独立地完成这件事），分步相乘（每一步都不能完成事件，只有各个步骤都完成了，才能完成事件）；较为复杂的事件往往既要分类，又要分步（每一类办法又都需分步实施）；分类讨论是研究排列组合问题的重要思想方法之一，分类时要选定讨论对象、确保不重不漏。

[举例] 设集合I={1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中的最大数，则不同的选择方法共有：（）种

A．50种B．49种C．48种D．47种

解析：本题要完成的事件是：构造集合I的两个非空子集；要求：B中最小的数大于A中的最大数；显然B中的最小数不可能是1，以下分类：① B中的最小数是2，B中可以有{2，3，4，5}中的1个元素、2个元素、3个元素或4个元素，所有可能的情况有：0123=8种，此时A只有{1}这1种；集合A、B都确定了，才算完成事件，C3C3C3C

3∴完成事件有8×1=8中方法；② B中的最小数是3，B中可以有{3，4，5}中的1个元素、

0122个元素或3个元素，所有可能的情况有：C2=4种，此时A中可以有{1，2}中C2C

212的有1个元素或2个元素，有C2=3种，∴完成事件有4×3=12种方法；③ B中的最C2

小数是4，B中可以有{4，5}中的1个元素或2个元素，所有可能的情况有2种，此时A中

123可以有{1，2，3}中的有1个元素、2个元素或3个元素，有C3=7种，∴完成事C3C

3件有2×7=14种方法；④ B中的最小数是5，只有{5}这1种，此时A中可以有{1，2，3，

12344}中的有1个元素、2个元素、3个元素或4个元素，有C4=15种，∴完C4C4C

4成事件有1×15=15种方法；故完成事件的方法总数为：8+12+14+15=49，选B。

[巩固]从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任选2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．

3．对“按某种要求将n个元素排到m个位置”的问题，首先要确定研究的“抓手”：抓住元素还是抓住位置研究；再按特殊元素（特殊位置）优先的原则进行。

[举例] 从5位同学中选派4位同学在星期四到星期日参加公益活动，每人一天，其中甲不能安排在星期六，乙不能安排在星期天，则不同的选派方法共有种。

解析：本题要完成的事件是：从5个不同的元素中选出4个元素，并按要求排在四个不同的位置。本题不宜抓住元素研究，因为每一个元素都不一定被选到，而每一个位置上都一定要有一个元素，故应该抓住位置研究。先看星期六（特殊位置，优先）：不能安排甲，可以安排乙（特殊元素，优先）或除甲乙之外的一个同学，①安排乙：其它位置可任意安排，有

[来源学&科&网Z&X&X&K]

3种，②不安排乙：可以安排其他三位同学，星期日可以安排甲或另外两个同学，星期

四、A

4112112五可任意安排，有C3C3A3 种，故不同的选派方法共有：A4+C3C3A3=78种。

3[巩固]四个不同的小球全部放入编号为

1、

2、

3、4的四个盒中。（1）恰有两个空盒的放法有种；（2）甲球只能放入2号或3好盒，而乙球不能放入4号盒的不同放法有种。

4．解决排列组合问题还要遵循“先选后排”、“正难则反”（即去杂法）等原则；[来源:学。科。网Z。X。X。K]

[举例]某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）（福建文科第12题） Ａ．2000Ｂ．4096Ｃ．5904Ｄ．8320

解析：直接考虑带有数字“4”或“7”的情况太多，逐一讨论非常麻烦；考虑事件的反面：后四位不带有数字“4”或“7”的，有84个，故“优惠卡”的个数为104-84=5904。

[巩固]四位同学乘坐一列有6节车厢的动车组，则他们至少有两人在同一节车厢的的情况共有种？(用数字作答)．

5．熟悉几个排列组合问题的基本模型：①部分元素“相邻”（捆绑法），②部分元素“不相邻”（用要求“不相邻”的元素插空），③部分元素有顺序（n个元素全排，其中m个元素

m要求按给定顺序排列的方法数为Cn(nm)!=

nnCnkC(nk1)nC(nk2)nCnn!），④平均分组（kn个元素平均分成k组m!的方法数为k!），⑤相同元素分组（用“挡板法”）等。

[举例1]某校安排6个班到3个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种。

解析：先将6个班分成3组，在将3个组分到3个工厂。6个班分成3组，从每组的人数看

22C62C4C2有3类：①4，1，1，有C种；②3，2，1，有CC种，③2，2，2，有种； 3!

46362

322C62C4C23故不同的安排方法共有：（C+CC+）×A3=540种。 3!4

63623

[举例2]某文艺小分队到一个敬老院演出，原定6个节目，后应老人们的要求决定增加3个节目，但原来六个节目的顺序不变，且新增的3个既不在开头也不在结尾，则这台演出共有 种不同的演出顺序。

解析：思路一：着眼于“位置”。从9个“位置”中选出6个，安排原来的6个节目，且第

41和第9两个位置必须选，而他们的顺序是既定的，无需排列，所以有C7种方法，剩下的

3433个位置安排新增的3个节目，有A3种方法；故所有不同的演出顺序有：C7=210种。 A3

思路二：在原有6个节目的基础上“插空”。原来6个节目形成7个“空”，但前后两“空”

3不能安排，共有3类情况：①新增的3个节目互不相邻，有A5种方法；②新增的3个节目

223恰有两个相邻，有A3种方法，故所有不同的A5种方法；③新增的3个节目相邻，有5A3

3223演出顺序有：A5+A3=210种。 A5+5A3

[巩固1]记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）（07高考北京理科第5题）

Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种

[巩固2]学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩xi∈{89，90，91，92，93}（i=1，2，3，4）且满足x1x2x3x4，则这四为同学考试成绩所有可能的情况有

[巩固3]现有10个市级“三好生”名额分配给高三八个班级，每班至少1个，则有种不同的分配方案。

6．“抽象化归”是解决排列组合问题的“太极拳”，“逐一列举”是解决排列组合问题的“撒手锏”；有时，画“树状图”能使“逐一列举”变得更加简明、直观。

[举例1]已知两个实数集合A={a1,a2,„,a100},B={b1,b2, „,b50},若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f( a1)≤f(a2)≤„≤f(a100),这样的映射共有(用符号作答)。 解析：本题直接考虑集合A中每一个元素在B中的象的情况非常困难。注意到集合B中每

个元素都有原象，即A中有50“组”元素分别与B中的50个元素对应；现将集合A中的100个元素按原有的顺序分成50组，每组至少一个元素；将集合B中的元素按从小到大的顺序

///排列为B={b1,b2, „,b50}；∵f( a1)≤f(a2)≤„≤f(a100)，∴A中的“第1组”元素的象为

///b1，“第2组”元素的象为b2，„，“第50组”元素的象为b50，此处没有排列的问题，即只要A中元素的分组确定了，映射也就随之确定了；而A中元素的分组可视为在由这100

4949个元素所形成的99个“空”中插上49块“挡板”，所以有C99种分法，即映射共有C99个。

[举例2]一个同心圆形花坛分为两个部分，如右图，中间小圆部分

种植草坪，周围的圆环分成5等份为a1,a2,a3,a4,a5,种植红、黄、

蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，则不同的

种植的方法为种。

解析：本题解法甚多，这里介绍画“树状图”列举法。 a1 a2 在右图中，区域a1种红花，a2种黄花时共有5种不同

的种植方法；而区域a2种蓝花与种黄花情况相同，区

域a1种蓝花、黄花与种红花情况相同；故所有不同的

种植的方法为：3×2×5=30种 黄[巩固1]显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或

1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显 红示，则该显示屏能显示信号的种数共有（）种

A．10B．48C．60D．80 蓝 a3 红4 黄 蓝黄 5 蓝 黄 蓝 黄 蓝

[巩固2] 函数f:{1,2,3}{1,2,3}满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有（）

(A)1个(B)4个(C)8个(D)10个 [来源学+科+网]

7．二项式定理的核心是展开式的通项，Tr+1=Cnab(通项是展开式的第r+1项), r=0,1,2…n，二项展开式共有n+1项。展开式的通项中根式宜用分数指数表示。审题是要注意所求的是“项”还是“第几项”还是“项的系数”。 rn-rr

1[举例](12x)x的展开式中常数项为．（07高考全国Ⅱ卷理科第13题） x28

181r)的展开式中常数项以及含x -2的项；Tr1C8rx8r()r=C8(1)rx82r xx

18-4由8-2r=0得r=4, 由8-2r=-2得r=5；即(x)的展开式中常数项为C8，含x 2的项为 x解析：先求(x

1C(1)x；∴(12x)x的展开式中常数项为C84-2C85=

42x

n3[巩固] 若3x的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。 585228

(07高考安徽理科第12题)

[迁移]f(x)=(x+1)n，且f ′ (x)展成关于x的多项式后x2的系数为60，则n=（）

A．7B．6C．5D．4

n8．注意辨析“系数”与“二项式系数”的区别；二项式系数和=2，其中奇数项的二项式系

n-1数和=偶数项的二项式系数和=2，二项式系数先增后减，并关于中间项“对称”，二项展开

式中，中间项二项式系数最大；求二项展开式中系数绝对值最大的项，用“夹逼法”。

[举例]若(2x)n展开式中奇数二项式系数和为8192，则展开式中系数最大的项为。 解析：2n1r14r=8192得n=14，则TrC142(x)r，由于(2x)14展开式中各项系数正负相间，故先求其展开式中系数绝对值最大的项，记为第r+1项，于是有：

r14rr115rr14rr113rC142C142①，C142C142②；由①②解得：4≤r≤5；

4104又r=5时系数为负，∴r=4，即展开式中系数最大的项为C142x。[来源:学§科§网Z§X§X§K] [来源:Z_xx_k.Com]

[巩固]若(x1n)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（） x

（07高考重庆理科第4题）

A．10B．20C．30D．120

23n9.研究多项式的“系数和”一般用“赋值法”。若多项式f(x)=a0+a1x+a2x+a3x+……anx，

则展开式中所有项的系数和=f(1)，其中奇数项的系数和=

=f(1)f(1)，偶数项的系数和2

[举例]设(1+2x)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=.解析：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0①

令x= -1得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32②由①②解得：a0 +a2 +a4 +a6=16， a1+ a3+ a5+a7= -16，在令x=0得a0=1，∴a2 +a4 +a6=15，∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-31。

[举例2]已知(1＋x)+(1＋x)2+(1＋x)3+„„+（1＋x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+„„+anxn，若a1+a2+„„＋an-1＝29-n,则正整数n＝____________

解析：只有（1＋x）n 的展开式中才有含xn 的项，它的系数为1，令x=0得a0=n，

23nn+1n+1令x=1得a0+a1+a2+……＋an-1+an=2+2+2+„„+2=2-2,∴a1+a2+……＋an-1=2-2-1-n

∴2n+1-3-n=29-n得n=4.[来源:Zxxk.Com][来源学科网ZXXK]f(1)f(1)；展开式中的常数项=f(0)。 2

[巩固1]设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2

则a0a1a2Ａ．2a11(x2)11， （07高考江西文科第5题） a11的值为（）Ｂ．1Ｃ．1Ｄ．2[来源学科网ZXXK]

[巩固2]已知(1x)2a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则

(a0a2a4)(a1a3a5) 的值等于安徽文科第12题)

[迁移]设(13x)a0a1xa2xa3xa4xa5xa6x，则集合 623456

a1,a2,a3,a4,a5,a6含2 个元素的所有子集的元素总和为()

A640B630C320D31

5[来源:学_科_网Z_X_X_K]

[来源:学科网]

[来源:学科网]

答案

1、[巩固1]D；[巩固2] 14或23；

2、[巩固]8424 ；

3、[巩固]84，96；

4、[巩固]936，

5、[巩固1] B，[巩固2] 15，[巩固3]问题相当于：将10个相同的球放入8个盒子中，每盒至少一

2球，用“挡板法”，有C9=36种；

6、[巩固1]D，[巩固2]D；

7、[巩固]7；[迁移]B；

8、[巩

固] B；

9、[巩固1] A；[巩固2] 256；[迁移]D。

高中数学 排列组合与二项式定理

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