教案二项式定理教师版

发布时间：2020-03-02 20:58:03 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

10.5 二项式定理

●知识梳理

1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.●点击双基

1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于 A.29

B.49

C.39

D.1 解析：x的奇数次方的系数都是负值，

∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9.∴已知条件中只需赋值x=－1即可.答案：B 2.（2004年江苏，7）（2x+x）4的展开式中x3的系数是 A.6 B.12

C.24

D.48

2解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为C24·2=24.答案：C 3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x3－A.14

1xr23(7x)1x）7的展开式中常数项是

C.42

D.－42

1xr）r=C727r· B.－14

解析：设（2x3－

r）7的展开式中的第r+1项是Tr1=C7（2x3）7r（－（－1）r·x当－r2，

61+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C67（－1）·2=14.答案：A 34.（2004年湖北，文14）已知（x+x213n

）的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________.（以数字作答）

3解析：∵（x2+x13）n的展开式中各项系数和为128，

313r）r=C7·x∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128.

r∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为Tr1=C7（x2）7r·（x

6311r6，

令6311r6=5即r=3时，x5项的系数为C37=35.答案：35 5.若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=_____________.2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11.答案：11 ●典例剖析

【例1】如果在（x+124x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2×n2n2，

n(n1)8，

=1+n(n1)8，得n=8.

12r163r设第r+1项为有理项，Tr1=C·有理项为T1=x4，T5=358r8·x

4，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.x，T9=

1256x2.评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r.【例2】求式子（｜x｜+解法一：（｜x｜+1|x|1|x|－2）3的展开式中的常数项.

1|x|－2）3=（｜x｜+

－2）（｜x｜+

1|x|－2）（｜x｜+

1|x|1|x|－2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取∴常数项为（－2）3+（－12）=－20.解法二：（|x|+1|x|，一个括号取－2，得C13C12（－2）=－12，

－2）3=（|x|－

1|x|）6.设第r+1项为常数项，

r则Tr1=C6·（－1）r·（1|x|r）r·|x|6r=（－1）6·C6·|x|62r，得6－2r=0，r=3.∴T3+1=（－1）3·C36=－20.思考讨论

（1）求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；（2）求（x+4x－4）4的展开式中的常数项；

（3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数.解：（1）原式=1=14.（2）（x+4x1x41x4（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C6－

－4）=4(x24x4)x44=

(2x)x48442·，展开式中的常数项为C8（－1）4=1120.（3）方法一：原式=(1x)[(1x)3481](1x)1=

(1x)51(1x)x3.4展开式中x3的系数为C51.方法二：原展开式中x3的系数为

3333343434C33+C4+C5+…+C50=C4+C4+…+C50=C5+C5+…+C50=…=C51.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.

n【例3】设an=1+q+q2+…+qn1（n∈N*，q≠±1），An=C1na1+C2na2+…+Cnan.（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3

=11q2nn12n［（C1n+C2］ n+…+Cn）－（Cnq+Cnq+…+Cnq）=11q{（2n－1）－［（1+q）n－1］} =11q［2n－（1+q）n］.（2）An2n=11q［1－（1q2）n］.因为－3

●闯关训练夯实基础

1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为

A.20

B.219 C.220 D.220－1 2020解析：C120+C220+…+C20=2－1.答案：D 2.（2004年福建，文9）已知（x－是

A.28

－

）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和B.38

－

C.1或38

－2r

D.1或28

rr解析：Tr1=C8·x8r·（－ax1）r=（－a）rC8·x8

.令8－2r=0，∴r=4.4∴（－a）4C8=1120.∴a=±2.当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1.当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38.答案：C 3.（2004年全国Ⅳ，13）（x－1x）8展开式中x5的系数为_____________.解析：设展开式的第r+1项为Tr1=Cx令8－3r2r88－r

·（－

1x）=（－1）Cx

r883r2.

2=5得r=2时，x5的系数为（－1）2·C8=28.答案：28 4.（2004年湖南，理15）若（x3+

x321x）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________.

92解析：Tr1=C（x）令3n－92rn3n－r·（x）=Cn·x

rr3nr.r=0，∴2n=3r.∴n必为3的倍数，r为偶数.6试验可知n=9，r=6时，Crn=C9=84.答案：9 5.已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.21解：由题意Cn＋Cn＋Cnnnn=22，

10即C2n＋Cn＋Cn=22，

∴n=6.∴第4项的二项式系数最大.lgx∴C3）3=20000，即x3lgx=1000.6（x∴x=10或x=110.培养能力

6.若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+…+a11；（2）a0+a2+a4+…+a10.解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.令x=1，得 a0+a1+a2+…+a11=－26，

又a0=1，

所以a1+a2+…+a11=－26－1=－65.（2）再令x=－1，得

a0－a1+a2－a3+…－a11=0.

①+②得a0+a2+…+a10=1

2 ①

②

（－26+0）=－32.评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1.7.在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ab的范围.－

－

（12－r）+nrrr解：（1）设Tr1=C12（axm）12r·（bxn）r=C12a12rbrxm

为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项.（2）∵第5项又是系数最大的项，

43C12a8b4≥C12a9b3，

①

∴有 45C12a8b4≥C12a7b5.

②

由①得121110943294851a8b4≥12111032aba9b3，

∵a＞0，b＞0，∴由②得ab b≥a，即≤ab≤

94.≥85，∴≤94.8.在二项式（x+24x）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项.解：前三项系数为C0n，12C1n，

1410C2n，由已知Cn=Cn+

142

C2n，即n－9n+8=0，

解得n=8或n=1（舍去）.Tr1=C（x）∵4－3r4r88－r（24x）=C·－r

r812r·x

43r4.∈Z且0≤r≤8，r∈Z，

358∴r=0，r=4，r=8.∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=评述：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－探究创新

9.有点难度哟！求证：2

1256 x2.

－

3r4∈Z即可，而不需要指数4－

3r4∈N.1n）n

1n）n=1+1+C2n×

12!1n2+C3n×

1n3+…+Cnn×

1nn=2+

12!×+13!×n(n1)(n2)n3+…+×

n(n1)21n1n

13!

+14!+…+1n!

1n1[1()]22112n

=3－（）n1

111n22n+C3n×

1n3+…+Cnn×1nn>2.所以2

1.在使用通项公式Tr1=Crnanrbr时，要注意：（1）通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项.（2）展开式中第r+1项的二项式系数Cn与第r+1项的系数不同.（3）通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n.2.证明组合恒等式常用赋值法.●教师下载中心

r教学点睛

1.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.2.要注意区分项的系数与项的二项式系数.

3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握.拓展题例

【例题】求（a－2b－3c）10的展开式中含a3b4c3项的系数.解：（a－2b－3c）10=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），从10个括号中任取3个括号，从中取a；再从

34剩余7个括号中任取4个括号，从中取－2b；最后从剩余的3个括号中取－3c，得含a3b4c3的项为C10a3C7·（－2b）4333433433434342（－3）abc.所以含abc项的系数为－C10C7×16×27.C33（－3c）=C10C7C3