二项式定理

发布时间：2020-03-02 02:41:22 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

代数教案--二项式定理(2)

王新敞

二项式定理

教学内容及教学目标：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．

中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．课时安排：

约6个课时：定理1课时；通项公式1课时；

二项展开式性质2课时（杨辉三角．对称性，增减性，系数和等）；综合运用2课时（证等式及特殊化方法；证整除，求近似值等）．重难点分析: 二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质

2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．设计思想: 先熟悉定理中展开式各项系数的规律，后一节再用数学归纳法证明，以分散难点．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

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第2课时

二项式定理的证明和通项公式

一、教学内容：

二项式定理的证明和通项公式

二、教学目标：

1．掌握二项展开式的通项公式 2．培养推理证明的能力； 3．引导学生发展与创新的意识．

三、重点和难点：

重点：二项式定理的证明、通项公式等；难点：二项式定理的证明。

四、教学过程： 1.复习上节内容

二项式定理：

1n12n22rnrrnnabnCn0anCnabCnabCnabCnb 012n二项式系数：Cn,Cn,Cn,,Cn.

2.新授

二项式定理的证明：用数学归纳法证明

1⑴当n=1时，等式的左边是ab=ab ；等式的右边是C10aC1b=ab.1于是，当n=1时等式成立.⑵假设nk时等式成立，即

abk0k1k1CkaCkabCk2ak2b2CkrakrbrCkkbk

当nk+1时

abk1=abkab1

=(CkaCka0k1k1bCk2ak2b2CkrakrbrCkkbk)(ab)

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0k11k =CkaCkabCk2ak1b2Ckr1akrbr1Ckkabk 0k11k12 +CkabCkabCkrakrbr1Ckk1abkCkkbk1 0k1101 Cka(CkCk)akb(Ck2Ck)ak1b2(Ckr1Ckr)akrbr1

(CkkCkk1)abkCkkbk1

由组合数的性质，得到

1krr1k1k1abk1Ck01ak1Ck11akbCk21ak1b2CkrabC1k1b这就是说，当nk+1时等式成立。

根据⑴、⑵，可知对于任意自然数n，公式都成立。

在数学中同一个式子可以有多种不同的看法，如ab中的两个字母可以看

5b成是对等的，xa括号中的两项则可以看成有主从，a51括号中的两

a55项则有常数与变数之分．

rnrr通项公式：Tr1Cnab.(r0,1,2,,n)

通项是所有项的代表，具有典型和核心作用．很多问题都是通过分析通项而窥知全体具有的规律的．

对于以公式的形式给出的知识，抓住公式的特征是必要的．通项公式中，Tr+1是项的标志，注意其下标是r+1而非r；右边的二项式系数是个组合数，其下标是n，上标是r，上标比Tr+1的下标小1；右边a与b的指数和为n，且a 的指数是n－r，b的指数是r．

对于公式，又一个重要的认识方法是把它抽象地看作几个有关参数的方程，从而知道其中的几个量就可以求另外的量．以二项展开式的通项公式而论，其中含有a，b，n，r，T五个量，显然，知道其中的几个或他们的某些关系，可以求另外的几个．

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3.例题分析

例1．利用二项式定理展开pq.

n（意在：出现中间是－号的情况．）引导发现：符号相间的规律．

13例2．求x的展开式中x的系数.x1r9r解：展开式的通项是

C9x(1)rC9rx92r.

x根据题意，得

92r3

r=3

3因此，x的系数是

(1)3C9= - 84 39r例3．在（ax+1）7的展开式中x3的系数是x2与x4的系数的等差中项，若实数a>1，那么a=______．

解：∵在（ax+1）7的展开式中x3的系数是x2与x4的系数的等差中项，

523443∴C7aC7a2C7a

∵ a>1， ∴a=14.练习

1.(10． 5xa2ax)6的展开式中，第五项是…………（

）

1520156x

2A.

B.

3 C.D.

xxxa2.(3a1a)15的展开式中，不含a的项是第（

）项

A.7

B.8

C.9

D.6 新疆奎屯市一中

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3.二项式(z-2)6的展开式中第5项是-480，求复数z.4.求二项式(33412)7的展开式中的有理项.

325.求x14x16x14x1.

（意在：体现公式应该会逆用．同时，注意向已知方向化归．）解：原式[x14x16x14x11]1

432x111

4x41.

5.小结：（1）、二项式定理蕴含着丰富的数学美，它有巧妙的数形结合美、抽象的美、奇异的美、统一的美等等。我们在学习数学时要逐步学会欣赏数学的美；（2）、二项式定理中的a、b是很有变化的，在具体问题中如果能找到它们是怎样变的，

那么就找到了解决问题的关键。（3）、二项式系数与二项式展开式系数是不同的两个概念。（4）、通项公式的作用不小，在以后的学习中会经赏常用到它。

6.布置作业： 7.课后检测

1(x)9x的展开式中含x3的项是

.1.10(3ix)2.二项式的展开式中的第八项是………（

） 7332403ix3603ix

A.-135x3

B.3645x2

2457(35)3.的展开式中的整数项是…………（

）

A.第12项

B.第13项

C.第14项

D.第15项

(3x4.22)n展开式中第9项是常数项，则n的值是（

）

A.13

B.12

C.11

D.10 新疆奎屯市一中

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5.(2di)的展开式中的第7项是……………（

）

A.2882d

B.-2882d

C.-672d3i

D.672d3i 229(2x36.110)2x展开式的常数项是

.(|x|7.12)3|x| 展开式的常数项是

.(8.在xb3)18bx的展开式中，第

项是中间项，中间项是

9.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.

*10.若（1-2x）5展开式中的第2项小于第1项，且不小于第3项，求实数x的取值范围.

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