用数学归纳法证明不等式(第03课时)[推荐]

第03课时用数学归纳法证明不等式

（一）

教学目标：

1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，

2、理解数学归纳法的操作步骤，

3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.

教学难点：理解经典不等式的证明思路.

教学过程：

一、复习准备：

1222n2n(n1),nN*.1.求证：1335(2n1)(2n1)2(2n1)

2.求证：11111nn,nN*.2342

1二、讲授新课：

1、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。

2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．

（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；

（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，

根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也

就是要认清不等式的结构特征；

（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；

（3）活用起点的位置；

（4）有的试题需要先作等价变换。

三、应用举例：

例1：比较n2与2n的大小，试证明你的结论.分析：试值n1,2,3,4,5,6 → 猜想结论 → 用数学归纳法证明

→ 要点：(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2….

证明：（略）

小结反思：试值→猜想→证明

11巩固练习1：已知数列an的各项为正数，Sn为前n项和，且Sn(an)，归纳出an2an

的公式并证明你的结论.

解题要点提示：试值n=1,2,3,4， → 猜想an → 数学归纳法证明

例2：证明不等式|sinn|n|sin|(nN).

要点：|sin(k1)||sinkcoscosksin||sinkcos||cosksin|

|sink||sin|k|sin||sin|(k1)|sin|

证明：（略）

例3：证明贝努利不等式.(1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)

分析：贝努力不等式中涉及到两个字母， x表示大于-1且不等于0的任意实数，n是大于1的自然数，用数学归纳法只能对n进行归纳

巩固练习2：试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N且a、b、*c互不相等时，均有an+cn＞2bn.

解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a=bnn, c=bq (q＞0且q≠1).∴ a+c=….q

ancnacn*当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c，则需证＞()(n≥2且n∈N).2

2ak1ck11k+1k+1k+1k+11(a+c+a+c)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a) ….当n=k+1时，24

4=1kkackacack+1(a+c)(a+c)＞()·()=() .4222

3.小结反思：应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧：凑配、放缩.四、巩固练习：

111tan(2n))(1)....(1)1.用数学归纳法证明： (1.cos2cos4cos2ntan

2.已知nN,n2,

五、课堂小结：

六、布置作业：

教材P

533、

5、8题.121111.n1n22n

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