推荐第1篇：《证明》课时6
3．线段的垂直平分钱
（一）
知识与技能目标：
1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．
2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
过程与方法目标：
1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
重点、难点、关键：
1．重点：理解和掌握线段垂直平分线定理，并能正确运用。
2．难点：运用综合证明的方法，命题的逆命题的书写。
3．关键：把握住“探索——发现——猜想——证明”的主线，注意从已知条件的推理中，以及求证问题的变换中寻找突破口．对于道命题的写法重要的是，分析原命题的条件、结论，再写出其逆命题。
教学过程：
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
提问：尝试写出证明过程。
想一想
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
定理：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
操作幻灯机，展示证明过程
随堂练习：寻找中.
课堂小结：
本节课通过探索、思考证明线段的垂直平分线定理的思路，加深思维的认知过程。本节课的定理在实际应用中所起着简化证明的作用，同时在制图的方面有着较为实际的应用。对于定理的逆命题，首先要正确理解一个定理的条件和结论，注意区分，并且明确：一个定理不一定有逆定理．在尺规作图既要做出图形又要讲清作图的依据。
推荐第2篇：《证明》课时2
1.你能证明它们吗
（二）
教学目标：
知识与技能目标：
掌握证明的基本思路和书写格式。
过程与方法目标：
经历观察——探索——发现的过程，能运用综合法证明等腰三角形判定定理。
重点、难点、关键：
1．重点：掌握证明的常见方法以及书写推理过程。
2．难点：寻找证明的思路，选择证明的方法。
3．关键掌握综合分析法，结合公理、定理，依据条件、结论进行推断、猜测，寻求证题的切入点．
教学过程：
一、提出问题，分组活动
（1）请同学们在练习本上画一个等腰三角形，一个等边三角形。
（2）在你所画的等腰（等边）三角形中作出一些你认为可以通过所学知识证明的相等线段。
二、下面是几种结论：
（1）等腰三角形两底角平分线相等。
（2）等腰三角形两腰上的中线、高线相等。
（3）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
（4）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等。
（5）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等。
（6）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等。
1.练习一 证明：等腰三角形两腰上的中线相等。
2练习二 证明：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等．
三、将推理证明过程书写出来。
问题提出：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
随堂练习：
已知：在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC
求证：DB=DE
课堂小结：
(1) 归纳判定等腰三角形判定有几种方法,
(2) 证明两条线段相等的方法有哪几种。
(3) 通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？
练习：寻找过程中.
推荐第3篇：《证明》课时3（版）
1.你能证明它们吗
（三）
教学目标：
知识与技能目标：
1．经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．
2．经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程．
过程与方法目标：
1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
3．形成证明一些结论的基本策略，发展学生的实践能力和创新精神．
重点、难点、关键：
1．重点：掌握两个几何定理，以及推理证明的逻辑思想。
2．难点：渗透分类讨论的数学思想，以及辅助残的应用。
3．关键：充分运用综合分析法分析证明的思路．注意辅助线的添加、辅助图形的构造。增强数学的分类意识。
教学过程：
一、提出问题：
（1）怎样判别一个三角形是等使三角形？
（2）一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？
（3）你认为有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？
二、做一做
用两块含30角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由。
三、提出问题：通过上述的拼摆，你联想到什么？在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 课堂小结：
本节课是在学习了全等三角形判定、等腰三角形性质、判定以及推论的基础上进行拓展，通过新旧知识的迁移以及拼摆实验，直观地探索出定理：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形．以及定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。这两个定理在简化几何步骤，以及计算或证明中起着积极的作用．
练习题：寻找过程中.
推荐第4篇：课时及听课证明
专任教师课时与听课情况证明
张三是我校语文学科专任教师。经核查，该同志近五年来平均周课时*节，每学期听课*节以上。
此材料已于*年*月*-*日在本校公示，群众无异议。 特此证明。
**县高级中学（盖章） 经办人签字： *年*月*日
校级领导（中层管理人员）课时与听课情况证明
李四是我校副校长（或“中层管理人员”），现担任高中一年级一个班的政治教学（或“兼任高中地理教学，近五年来平均周课时*节以上”），每学期听课*节以上。
此材料已于*年*月*-*日在本校公示，群众无异议。 特此证明。
**县高级中学（盖章） 经办人签字： *年*月*日
班主任课时与听课情况证明
王五现为我校高二（1）班班主任，并担任一个班语文教学工作，近五年来平均周课时*节以上，每学期听课*节以上。
此材料已于*年*月*-*日在本校公示，群众无异议。 特此证明。
**县高级中学（盖章） 经办人签字： *年*月*日
推荐第5篇：《证明》课时8（推荐）
4．角平分线
教学目标：
知识与技能目标：
1．角平分线的性质定理的证明．
2．角平分线的判定定理的证明．
3．用尺规作已知角的角平分线．
过程与方法目标：
1．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．
2．体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．
重点、难点、关键：
1．重点。掌握角平分线的定理以及它的逆定理，并能正确应用．
2．难点：应用角平分线定理和逆定理进行证明，作图的作法表达。
3．关键：弄清定理的条件和结论，充分运用综合分析法进行推理证明。
教学过程：
提出问题：角平分线上的点有什么性质？你是怎样得到的？请你尝试证明它。
先绘制角平分线的示意图，通过图形进行直观理解，并运用所学公理、定理探索证明思路，规范证明表达。
提出问题
1．请你写出角平分线的逆命题。
2．判断它是真命题还是假命题。
3．如果它是真命题，你能证明吗？
做一做
用尺规作角的平分线。
在黑板上制图，边绘图，边指导。
随堂练习：寻找中.
课堂小结：
提问.
本节课主要学习角平分线的定理以及逆定理，通过探究角平分线的性质回顾和尝试证明，并且掌握逆命题的验证。感悟逆定理的内含，同时通过对定理以及逆定理的证明，体会综合证明的方法．
练习题：寻找中.
推荐第6篇：作业12.2证明13课时
12.2证明（1）
1.如图(1)长方形草坪中间的一条1m宽的直道改造成如图(2)处处1m宽的“曲径”.两条小道占用草坪的面积相等吗？如何证实你的结论？
(1)(2)
12.当x=－
5、、0、
2、3时，计算代数式x24x5的值.
2（1） 换几个数再试试，你发现了什么？
（2） 如何证实你的结论？
3房价主要由以下三块组成：地价、建筑材料、广告费．万达地产向外宣称，今年上半年地价上涨10％、建筑材料上涨10％、广告费上涨10％，则房价应上涨30％才能保本．你认为万达地产的说法合理吗？为什么？
课堂检测：
班级姓名时间：等地：
1.如图，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法证实你的猜想.2.今年五一节期间，王老板在其经营的服装店里卖出两件衣服，其中一件是裤子售价为168元，盈利20％，一件是夹克衫售价也是168元，但亏损20％，问王老板在这次的交易过程中是赚了还是亏了，赚了赚了多少？亏了亏了多少？还是不赚不亏？
1：如何从基本事实出发，证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”.已知：如图，____________________________、求证：__________________
证明：∵a⊥c（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义）.∵b⊥c（）， ∴∠2=90°（）.∵∠1=90°，∠2=90°（）.∴∠1=∠2（）， ∵∠1=∠2（已证），∴a∥b（）．归纳：证明与图形有关的命题，一般步骤有：
（1）_________________、（2）__________________、（3）___________________ 2.从基本事实出发，证明“内错角相等，两直线平行”.
3.已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD，GM平分∠EGB，HN平分∠EHD． 求证：GM//HN.EMB
N
课堂检测：
F H
D
班级姓名时间：等地：
1.已知:如图,直线a与直线b被直线c所截,∠1＝∠2.
求证: a∥b.
c
ab
2.已知：如图，AD∥BC,∠BAD=∠DCB.第2题图
M
第3题图
3.已知：A、O、B在一直线上，OM 平分∠AOC，ON平分∠BOC.
求证：OM⊥ON.O A
N
B
1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于_______.（1）如何证明三角形内角和定理？
已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证明：如图，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB
∵CE∥AB（）,
∴∠1=∠B(),∠2=∠A().
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
(),
∴∠A+∠
B+∠ACB=180°().A（2）尝试用不同的证明方法证明三角形内角和定理
α
B
2.如图，∠α
是△ABC一个外角，∠α与它不相邻两个内角 C
有怎样数量关系？如何证明？
由三角形内角和定理，可以推出：三角形的外角等于.像这样，由一个定理直接推出的___________，叫做这个定理的推论.它
A
B和定理一样，可以作为进一步证明的依据.
3.已知：如图，AC、BD相交于点O， 求证：∠A+∠B=∠C+∠D.
D
检测与练习:
班级姓名时间：等地：1.下列叙述中正确的是()
A.三角形的外角等于两个内角的和B.三角形每一个内角都只有一个外角
C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和D.三角形的外角大于内角
2.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于（）A.180°B.360°C.540°D.720°
3.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE相交于点F．
求证：∠C＋∠1＋∠2＋∠3＝180°．
第2题图
推荐第7篇：12.2证明(第1、2、3课时)
12.2证明（1）
教学目标：
1、了解证明的含义，体验、理解证明的必要性和推理过程中要步步有据。
2.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。
教学重点：证明的含义和表述格式。
教学难点：按规定格式表述证明的过程。
教学内容：
一、自主探究
通过观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段。通过观察、操作、实验，常常可以探索发现一些结论，但是得出的结论不一定正确，数学中，探索发现的结论需要加以证明。
1.课本147页/试一试
2.课本147页/议一议
二、自主合作
1.课本148页/做一做
(1)当x= -
5、-1/
2、0、
2、3时，分别计算代数式x-2x+2的值，并与同学交流
(2)换几个数字试试，你发现了什么？
2.课本148页/数学实验室1题数学实验室2题
2三、自主展示
1.课本149页/练一练
2.如图，BC⊥ AC于点C，CD⊥AB于点D， ∠EBC=∠A，
求证：BE∥CD
证明：∵BC⊥AC()
∴(垂直的定义)
∵(已知)
∴∠A+∠ACD=90°（）
∴（同角的余角相等）
又∵∠EBC=∠A（）
∴∠ EBC=∠BCD，
∴BE∥CD（）
四、自主拓展
1．证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证
明的结论（求证）。证明过程的具体表述（略）
注意：证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内.2.证明命题的步骤：
（1）画出命题的图形。先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出。还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达。
（2）结合图形写出已知、求证。把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中。
（3）经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程。
在以上第二个
五、自主评价
作业布置：P154/1、2.教学后记：
12.2证明（2）
教学目标：1.理解并掌握证明、定理的定义；证明的过程包括几个推理，每个推理应包
括因、果
2.通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力。
教学重点：证明的含义和表述格式。
教学难点：按规定格式表述证明的过程。 教学内容：
一、自主探究
1.证明命题的步骤：
（1）画出命题的图形。先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出。还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达。
（2）结合图形写出已知、求证。把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中。
（3）经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程。 ab
2.课本150页
已知：如图，在直线a、b、c中，求证：a⊥c，b⊥c 12证明： c
二、自主合作
1.课本151页/例
1已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD、MG平分∠EMB，NH平分∠END 求证：MG//NH
EG证明：
B AM
H
N
CD
2.课本151页/练一练
F
三、自主展示
1.一般的，判断一件事情的句子叫做命题，命题分为真命题与假命题。
2．说明一个命题是假命题，通常只用找出一个反例，但要说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子。
3．判断下列命题的真假
（1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。真命题 （2）素数不可能是偶数。假命题
（3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人。假命题
（4）有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形。假命题 （5）若y(1-y)=0，则y=0。假命题(6) 若2x+y=0，则x=y=0；
（7）若∠1与∠2是同位角，∠2与∠3也是同位角，那么∠1与∠3是同位角.（8）任何偶数都是4的倍数。
四、自主拓展
1．对于命题“三线两两相交，必有三个交点”你认为是假命题还是真命题？可以采用什么方法加以证明？
如:。
2．请用反例证明命题“相等的角是对顶角” 是假命题。
如：或或
等。
3.请判断以下命题的真假：
①若ab＜0，则a＞0，b＜0。②两条直线相交，只有一个交点。
③如果n是整数，那么2n 是偶数。④若两个角不是对顶角，则它们不相等。 ⑤直角是平角的一半。
五、自主评价
作业布置：P154/1、2.教学后记：
12.2证明（3）
教学目标：1.掌握三角形定理、及它的推论的证明
教学重点：三角形定理、及它的推论的证明
教学难点：按规定格式表述证明三角形定理、及它的推论。 教学内容：
一、自主探究
1.复习回顾：
真命题证明的步骤和格式： 证明命题的一般步骤：
(1)理解题意：分清命题的条件(已知)，结论(求证)； (2)根据题意，画出图形；
(3)结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”；
(4)分析题意，探索证明思路(由“因”导“果”，执“果”索“因”.)； (5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程； (6)检查表达过程是否正确，完善.A
二、自主合作
1.三角形内角和定理：“三角形三个内角的和为180”
C
三、自主展示
1.三角形内角和定理的推论：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和” 已知：
求证： 证明：
3.课本154页/例
2已知：如图，AC、BD相较于点O 求证：∠A+∠B=∠C+∠D 证明：
D
B
A
C
四、自主拓展
1.要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例(counter example)。
2．判断命题“若x+y=0，则x=1，y=-1”的真假，并给以证明。 3.举反例说明命题“一个角的余角不小于这个角的补角”是假命题。
4.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的平分线, ∠A=58（1）求∠H的度数.（2）若∠A=n，求∠H的度数.
B
五、自主评价
1、归纳出本节课的知识结构：
2、证明的含义
作业布置：P154/1、2.教学后记：
推荐第8篇：课时作业39 直接证明与间接证明
课时作业39 直接证明与间接证明
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证明法
解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论． 答案：B
2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()
A．2ab－1－a2b2≤0
44a＋bB．a2＋b2－1－20
a＋b2C.2－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D
3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
解析：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．
答案：B
4．设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b，a
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中正确判断的个数为()
A．0
C．2B．1 D．3
解析：①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个．
答案：C
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b－ac
A．a－b>0
C．(a－b)(a－c)>0B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.
答案：C
6．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，3a－4f(2)＝a的取值范围是() a＋
13A．a
3C．a>4a
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，则f(2)＝f(－1)＝－f(1)，
再由f(1)>1，可得f(2)
3a－43即－1，解得－1
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．设a＝3＋22，b＝27，则a，b的大小关系为________． 解析：a＝3＋2，b＝2＋7两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋7，显然，6
答案：a
8．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________.
解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．
答案：a，b，c，d全是负数
9．已知点An(n，an)为函数y＝x＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
1解析：由条件得cn＝an－bn＝n＋1－n，∴cn随nn＋1＋n
的增大而减小．∴cn＋1
答案：cn＋1
三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
10．(15分)若a>b>c>d>0且a＋d＝b＋c，d＋a
11．(20分)已知函数y＝f(x)是R上的增函数．
(1)若a，b∈R且a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)写出(1)中的命题的逆命题，判断真假并证明你的结论． 解：(1)∵函数y＝f(x)是R上的增函数，
又∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命题：若a、b∈R，f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.真命题．
证明如下：
假设a＋b
∴当a
当b
∴f(a)＋f(b)
∴a＋b
——创新应用——
12．(20分)设f(x)＝ex－1.当a>ln2－1且x>0时，证明：f(x)>x2－2ax.
证明：欲证f(x)>x2－2ax，即ex－1>x2－2ax，也就是ex－x2＋2ax－1>0.
可令u(x)＝ex－x2＋2ax－1，则u′(x)＝ex－2x＋2a.
令h(x)＝ex－2x＋2a，则h′(x)＝ex－2.
当x∈(－∞，ln2)时，h′(x)0，函数h(x)在[ln2，＋∞)上单调递增．
所以h(x)的最小值为h(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a.
因为a>ln2－1，所以h(ln2)>2－2ln2＋2(ln2－1)＝0，即h(ln2)>0.所以u′(x)＝h(x)>0，即u(x)在R上为增函数．
故u(x)在(0，＋∞)上为增函数．所以u(x)>u(0)．
而u(0)＝0，所以u(x)＝ex－x2＋2ax－1>0.
即当a>ln2－1且x>0时，f(x)>x2－2ax.
推荐第9篇：直接证明和间接证明(4个课时)教案
2．2直接证明与间接证明
教学目标：
（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；
（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；
（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；
（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力.教学建议：
1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）
2．重点、难点分析
重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；
难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；
②综合性问题证明方法的选择．
（1）不等式证明的意义
不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．
（2）比较法证明不等式的分析
①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．
②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．
由于a>ba-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．
由于当b>0时,a>b(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．
③求差比较法的基本步骤是：“作差变形断号”．
其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．
变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.
④作商比较法的基本步骤是：“作商变形判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．
（3）综合法证明不等式的分析
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．
②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．
③综合法证明不等式的逻辑关系是：
（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）
（4）分析法证明不等式的分析
①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．
有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．
②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．
③用分析法证明不等式的逻辑关系是：
（已知）
④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用. （5）关于分析法与综合法关系
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．
②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知 结论．
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．
综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．
④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的． 第一课时 不等式的证明（比较法） 教学目标
1．掌握证明不等式的方法——比较法；
2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤． 教学重点:
比较法的意义和基本步骤.教学难点:
常见的变形技巧.教学方法； 启发引导法.教学过程： （－）导入新课
教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？
找学生回答问题．
（学生回答： ， ， ，）
［点评］要比较两个实数 与 的大小，只要考察 与 的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．
目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
作差比较法
[问题] 求证
教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．
学生研究证明不等式，尝试完成问题． ［本问点评］
①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．
②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．
③理论依据是：
④由 需证明
，
，知：要证明
只需证
；这种证明不等式的方法通常叫做比较法．
目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．
【例题示范，学会应用】
教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．
例1． 求证
［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得
，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．
证明：∵
＝
＝ ，
∴ ．
［本例点评］
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;
②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;
③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;
④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．
例2 .已知
都是正数，并且
，求证：
［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．
证明：
＝
＝ ．
因为 所以
∴ 都是正数，且
． ．
，
即：
[本例点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;
②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法; 例
3、已知a,b都是实数,且ab,求证ababab3322
证明:(ab)(abab)(aab)(abb)222233223223
2a(ab)b(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)
a,b0,ab0又ab(ab)0
2故(ab)(ab)0即(ab)(abab)0 23322ababab3322
[本例点评]
①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;
②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法; 求商比较法：
例1 已知a,b是正数,求证abab,当且仅当ab时,等号成立.abba证明:ababbabaaabbbaabab
根据要证的不等式的特点(交换a,b的位置,不等式不变)a不妨设ab0,则1,ab0,bb当且仅当ab时,等号成立.abab,当且仅当ab时,等号成立.abbaaab1小结：作商比较法的基本步骤是：“作商变形判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．
（最后是与1比较）
(三)课堂练习
教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．
练习：1．求证
，求证
2．已知 ， ， ，d都是正数，且
目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．
（四）布置作业
2、已知：a，b∈R＋．求证：a5＋b5≥a3b2＋a2b3
．
2x
3、求证：21x
14、求证：1qqq(q0) 734
5、设a,bR
ab,求证：ab(ab)ab2
第二课时 综合法
●教学目标
(一)教学知识点 综合法证明不等式.(二)能力训练要求
1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标 掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点
1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A(已知)B1B2„BnB(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有: (1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.(3)ab2ab,对a>0,b>0,当且仅当a=b时取“=”号.abba(4)当a,b同号时有(5)abc333
3≥2,当且仅当a=b时取“=”号.3abc (a>0,b>0,c>0),当且仅当a=b=c时取“=”号.(6)a+b+c≥3abc(a>0,b>0,c>0),当且仅当a=b=c时取“=”号.●教学难点
“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点.●教学过程 1.课题导入
［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A) 我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a2≥0,或(a±b)2≥0; (2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|; (3)ab22ab,(a,b∈R),当且仅当a=b时取“=”号; 2+(4)ab≤ab2,(a,b∈R);ab≤(
ab2)2,(a,b∈R+),当且仅当a=b时取“=”号;
(5)abb（6）aabc≥2,(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号；
3333abc,(a,b,c∈R),当且仅当a=b=c时取“=”号；
+（7)a+b+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),当且仅当a=b=c时取“=”号.今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课
一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法有较顺利推证法或有引导果法。
下面，我们探索研究用“综合法”证明不等式.［例1］已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右
333边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a+b+c≥3abc.(教师引导学生，完成证明）
22证法一：∵a>0,b+c≥2bc ∴由不等式的性质定理4，得 a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc, ② c(a2+b2)≥2abc.③
因为a,b,c为不全相等的正数，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.证法二：
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) 222222=ab+ac+bc+ba+ca+cb
=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2) ∵a,b,c为不全相等的正数.222∴ab+bc+ca>33a3b3c2=3abc
ab2+bc2+ca2>33a3b3c3=3abc
由不等式的性质定理3的推论，得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.总结：1.“综合法”证明不等式就是从已知（或已经成立）的不等式或定理出发，结合不等式性质，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立.2.在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为Q: P1
Q1Q2 Q2Q3
…
QnQ
特点:“由因导果”
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、分析:由A,B,C成等差数列可得什么?Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形． 由a,b,c成等比数列可得什么?
3、课堂练习
1、在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，B，C成等差数列，求证： 1a+b1b+c3a+b+c
+=
4、课后作业
1．a
A．ab+
C．
1a1b
2
2（
）
1
a2B．|a|>－b b22 D．b>a
2．a,b∈R，M=,Aab2,Gab,H11a21b，则M、A、G、H间的大小关系是（
）
A．M≥A≥G≥H
B．M≥H≥A≥G C．A≥G≥M≥H
D．A≥G≥H≥M 3．0
A．a+b 2
2（
）
B．a+b
C．2ab
D．2ab
4、已知a2＋b2＋c2＝1，求证：
1
2≤ab＋bc＋ca≤1.
5、已知：a,b,c为正实数，求证：bcaacbabcabc
第三课时 分析法
●教学目标
(一)教学知识点 分析法证明不等式.(二)能力训练要求
1.理解分析法证明不等式的原理和思路.2.理解分析法的实质——执果索因,熟练掌握分析法证明不等式.(三)德育渗透目标
分析法证明不等式意在提高学生的数学素质,培养学生的创新意识,加强学生分析问题和解决问题的逻辑思维及推理能力,进一步使学生认识到事物间是有联系的辩证唯物主义观念.●教学重点
分析法证明不等式,就是“执果索因”,从所证的不等式出发,不断用充分条件代替前面的不等式,直至使不等式成立的条件已具备,就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法.用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:欲证命题B为真,只需证明命题B1为真,从而又只需证明命题B2为真,从而又„„只需证明命题A为真,今已知A真,故B必真.简写为:BB1B2„BnA.●教学难点
1.理解分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件.2.正确使用连接有关(分析推理)步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定„„成立”等.●教学过程
1.课题导入
［师］随着我们对不等式证明学习的逐步深入,我们还会遇到这样的问题:面对一个不等式的证明而一筹莫展,无计可施,由题设不易“切入”展开推理.在此情况下,我们可以尝试从目标不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的过程中,逐渐发现解题思路,从而达到证明不等式的目的.今天,我们根据这种基本思路,继续探讨学习证明不等式的又一种重要方法——分析法.2.讲授新课
证明不等式时,有时可以从求证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、定理或以证明的定理、性质等）从而得出要证的命题成立，.这种证明方法通常叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法
下面,我们探索分析用“分析法”证明不等式.例1 求证基本不等式ab2ab(a0,b0)
例2 求证2736 证明: 所以要证227和3726都是正数,6,6),23只需证(27)(3展开得92149218,只需证1418,
只需证1418,1418成立,所以2 736成立.说明：证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.例如,在本例中,我们很难想到从“14
入手.因此,在不等式的证明中,分析法占有重要的位置.我们常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思想方法.例2 已知，ksin+cos=2sin,sincossin 1tan1tan求证：221tan2(1tan)2222(kZ)且
3.课时小结
这节课,我们学习了“分析法”证明不等式.用“分析法”证明不等式时,其叙述方式很重要,必须突出分析法的语言“特色”,如:“欲证„„成立,只需证„„”或采用符号“”或 “”.还要注意,用“分析法”证明不等式的一大优点是,当我们面对一个不等式的证明而一筹莫展,无法下手时,它给我们提供了一个方法,即从目标不等式“倒推”分析,而往往在“倒推”的过程中,会逐渐发现解题思路.因此,分析法从本质上说,只是对问题作尝试与探索的过程(即执果索因).在运用“分析法”时,典型的错误是把所证不等式当作已知条件,如证明命题“若A则B”,错误地写成:“因为B成立,则„„”.希望同学们很好掌握
4、课堂练习
课本89页 练习1,2,3.
5、课后作业
1．622与57的大小关系是________________ 2．已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：2a12b122.3．若x,y是正实数，xy1，求证：(1)(1)9
xy114．已知
1tan2tan1，求证：3sin24cos2
第4课时
反证法
●教学目标
(一)教学知识点 1.反证法的概念.2.反证法证题的基本方法. (二)能力训练要求 1.初步掌握反证法的概念.
2.理解反证法证题的基本方法.3.培养学生用反证法简单推理的技能. (三)德育渗透目标 培养学生通过事物的结论的反面出发，进行推理，使之引出矛盾，从而证明事物的结论成立的简单推理能力与思维能力.
●教学重点 1.理解反证法的推理依据.2.掌握反证法证明命题的方法.3.反证法证题的步骤.●教学难点 理解反证法的推理依据及方法.●教学过程
1.复习：证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法.2.讲授新课
反证法:先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.例1 已知x,y0,且xy2,试证1x1y,中至少有一个小于2.yx
证明:假设1x1y1x1y,都不小于2,即2,且2,yxyxx,y0,1x2y, 1y2x,2xy2(xy)xy2,这与已知条件xy2矛盾.1xy与1yx中至少有一个小于2
1例
2、设0
111 证：设(1 a)b >4, (1 b)c >4, (1 c)a >4,
1则三式相乘：ab
(1a)a0(1a)a2又∵0
同理：,
1以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤64 与
①矛盾
∴原式成立
例3如果a，b，且a//b， 已知直线a，b和平面，a
求证： a//bp例
4、求证：2是无理数
3.课时小结
反证于以下两种情形
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.常见否定用语
是－－－不是
有－－－没有 等－－－不等
成立－－不成立 都是－－不都是，即至少有一个不是 都有－－不都有，即至少有一个没有
都不是－部分或全部是，即至少有一个是 唯一－－至少有两个
至少有一个有（是）－－全部没有（不是） 至少有一个不－－－－－全部都
4、课堂练习
课本 91页 练习1,2
5、作业布置
课本 91页 1,2,4
补充教案
放缩法
●教学目标
教学知识点
（一）1.放缩法的概念.2.放缩法证题的基本方法.
(二)能力训练要求 1.初步掌握放缩法的概念.2.理解放缩法证题的基本方法.3.培养学生用放缩法简单推理的技能. (三)德育渗透目标：证明不等式意在提高学生的数学素质,培养学生的创新意识,加强学生分析问题和解决问题的逻辑思维及推理能力,进一步使学生认识到事物间是有联系的辩证唯物主义观念.
●教学重点 1.理解放缩法的推理依据.2.掌握放缩法证明命题的方法.●教学难点 理解放缩法的推理依据及方法.●教学过程
1.复习：证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法.2.讲授新课
反
放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较强的一种证法.
例1 已知a,b,c,dR,求证1aabdbbcaccdbddac 2证明: a,b,c,d0,aabcdbabcdcabcddabcdaabdbbcaccdbddac
把以上四个不等式相加 得abcdabcd 即1aabd112aabdbbbcacccbddddac2ababcdcd.
bca131n22cba1n2dac例
2、求证： ∴11212221
2 证明：
131n11n1n21n(n1)1n1n11n
12213211122
2、
.课时小结
放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即AC,后证CB.常用的放缩技巧有:(1)舍掉(或加进)一些项;(2)在分式中放大或缩小分子或分母;(3)应用基本不等式进行放缩.如(a1k212)1234(a,1212);1,1k2kk1,2
k(k1)k2kk(k1)1kk1(以上k2且kN)
4、课后作业
1、设x >0, y >0,axy1xy, bx1xy1y，求证：a
1111
12、12nn1n22n(nN)
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第03课时用数学归纳法证明不等式
（一）
教学目标：
1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，
2、理解数学归纳法的操作步骤，
3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.
教学难点：理解经典不等式的证明思路.
教学过程：
一、复习准备：
1222n2n(n1),nN*.1.求证：1335(2n1)(2n1)2(2n1)
2.求证：11111nn,nN*.2342
1二、讲授新课：
1、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。
2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．
（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；
（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，
根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：
（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也
就是要认清不等式的结构特征；
（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；
（3）活用起点的位置；
（4）有的试题需要先作等价变换。
三、应用举例：
例1：比较n2与2n的大小，试证明你的结论.分析：试值n1,2,3,4,5,6 → 猜想结论 → 用数学归纳法证明
→ 要点：(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2….
证明：（略）
小结反思：试值→猜想→证明
11巩固练习1：已知数列an的各项为正数，Sn为前n项和，且Sn(an)，归纳出an2an
的公式并证明你的结论.
解题要点提示：试值n=1,2,3,4， → 猜想an → 数学归纳法证明
例2：证明不等式|sinn|n|sin|(nN).
要点：|sin(k1)||sinkcoscosksin||sinkcos||cosksin|
|sink||sin|k|sin||sin|(k1)|sin|
证明：（略）
例3：证明贝努利不等式.(1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)
分析：贝努力不等式中涉及到两个字母， x表示大于-1且不等于0的任意实数，n是大于1的自然数，用数学归纳法只能对n进行归纳
巩固练习2：试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N且a、b、*c互不相等时，均有an+cn＞2bn.
解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a=bnn, c=bq (q＞0且q≠1).∴ a+c=….q
ancnacn*当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c，则需证＞()(n≥2且n∈N).2
2ak1ck11k+1k+1k+1k+11(a+c+a+c)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a) ….当n=k+1时，24
4=1kkackacack+1(a+c)(a+c)＞()·()=() .4222
3.小结反思：应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧：凑配、放缩.四、巩固练习：
111tan(2n))(1)....(1)1.用数学归纳法证明： (1.cos2cos4cos2ntan
2.已知nN,n2,
五、课堂小结：
六、布置作业：
教材P
533、
5、8题.121111.n1n22n
第11篇：第七章 推理与证明第2课时 直接证明与间接证明
第七章 推理与证明第
(理)95～96页
) 2课时 直接证明与间接证明(对应学生用书(文)、
1.已知向量m＝(1，1)与向量n＝(x，2－2x)垂直，则x＝________．
答案：
2解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x.∵ m⊥n，∴ m·n＝0，即x＝2.2.用反证法证明命题“如果a>b，那么a>b”时，假设的内容应为______________． 答案：a＝b或a
3333解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即a＝b或a5－7
解析：由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋41010.因为42>40，所以6－5－7成立．
4.定义集合运算：A·B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sinα，cosα}，则集合A·B的所有元素之和为________．
答案：0
π解析：依题意知α≠kπ＋，k∈Z.
423π2①α＝kπ＋(k∈Z)时，B＝， 422
22A·B＝0，； 22
π②α＝2kπ或α＝2kπ＋∈Z)时，B＝{0，1}，A·B＝{0，1，－1}； 2
π③α＝2kπ＋π或α＝2kπ－(k∈Z)时，B＝{0，－1}，A·B＝{0，1，－1}； 2
kπ3π④α≠α≠kπ＋∈Z)时，B＝{sinα，cosα}，A·B＝{0，sinα，cosα，－sinα，24
－cosα}．
综上可知A·B中的所有元素之和为0.
115.(选修12P44练习题4改编)设a、b为两个正数，且a＋b＝1≥μ恒成立ab的μ的取值范围是________．
答案：(－∞，4]
1111ba＝2＋≥2＋2解析：∵ a＋b＝1，且a、b为两个正数，∴ ＋＝(a＋b)abababab
1
1＝4.要使得≥μ恒成立，只要μ≤
4.ab
1.直接证明
(1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法． (2) 一般形式
本题条件
已知定义已知公理已知定理ÞAÞBÞ
C„本题结论．
(3) 综合法
① 定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．
② 推证过程
已知条件Þ
„Þ
„
Þ结论
(4) 分析法
① 定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法称为分析法．
② 推证过程
结论
Ü„Ü„Ü
已知条件
2.间接证明
(1) 常用的间接证明方法有 (2) 反证法的基本步骤
① 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．
② 归谬——从反设和已知出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果． ③ 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立． [备课札记]
题型1 直接证明(综合法和分析法)
例1 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝
S
(1) 数列n是等比数列；
n＋
2(n＝1，2，3，„)，证明： nn
(2) Sn＋1＝4an.n＋2
(n＝1，2，3，„)，∴ (n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， nn
Sn＋1S整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴ ，
nn＋
1Sn＋1n＋1S即2，∴ 数列n是等比数列．
Sn
Sn＋1Sn－1Sn－1
(2) 由(1)知：＝(n≥2)，于是Sn＋1＝4·(n＋4an(n≥2)．又a2＝3S1
n＋1n－1n－1
＝3，∴ S2＝a1＋a2＝1＋3＝4a1，
∴ 对一切n∈N*，都有Sn＋1＝4an.
例2 设a、b、c均为大于1的正数，且ab＝10，求证：logac＋logbc≥4lgc.
lgclgc
证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明logac＋logbc≥4lgc，只要证明lgalgb
lga＋lgb
14lgc，即≥4，因为ab＝10，故lga＋lgb＝1.≥4，由于a>1，b>1，故
lgalgblga·lgb
lga＋lgb21211
lga>0，lgb>0，所以0
4lgalgb2
变式训练
设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n、m，Sn＋m＝Sm＋qmSn总成立．求证：数列{an}是等比数列．
证明：因为对任意正整数n、m，Sn＋m＝Sm＋qmSn总成立，令n＝m＝1，得S2＝S1＋qS1，则a2＝qa1.令m＝1，得Sn＋1＝S1＋qSn ①， 从而Sn＋2＝S1＋qSn＋1 ②，②－①得an＋2＝qan＋1(n≥1)，综上得an＋1＝qan(n≥1)，所以数列{an}是等比数列．
题型2 间接证明(反证法)
证明：(1) ∵ an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝
例3 证明：2，3，5不能为同一等差数列中的三项．
证明：假设2，3，5为同一等差数列的三项，则存在整数m、n满足3＝2＋md ①，
＝2＋nd②，
①×n－②×m3n5m＝2(n－m)，两边平方得3n2＋5m2－15mn＝2(n－m)2，左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠不能为同一等差数列的三项．
备选变式（教师专享）
已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，其中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
解：若方程没有一个实数根，则
16a－4（3－4a）
3（a－1）2－4a2
3
a≥－1或a≤.故三个方程至少有一个方程有实数根的a的取值范围是a
2
1.用反证法证明命题“a·b(a、b∈Z)是偶数，那么a、b中至少有一个是偶数．”那么反设的内容是__________________________________．
答案：假设a、b都是奇数(a、b都不是偶数)
解析：用反证法证明命题时反设的内容是否定结论．
19
2.已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＜c，b＜c＋1，若以a、b、c为三边构造三角形，
ab
则c的取值范围是________．
答案：(10，16)
解析：要以a、b、c为三边构造三角形，需要满足任意两边之和大于第三边，任意两边
19b9a＝10之差小于第三边，而ac恒成立．而a＋b＝(a＋b)abab
11111019
16，∴c，＝1，∴c>10，∴10
1
1f0（x）－，fn(x)＝fn－1（x，(n≥1，n≥N)，3.设函数f0(x)＝1－x2，f1(x)＝22
n11
则方程f1(x)＝________个实数根，方程fn(x)＝3有________个实数根．
3＋
答案：4 2n1
1111
51－x2＝x2－＝ x2＝x2＝有4个解． 解析：f1(x)＝22366
∵ 可推出n＝1，2，3„，根个数分别为22，23，24，
1n＋∴ 通过类比得出fn(x)＝3有2n1个实数根．
4.若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m.(1) 若x2－1比1远离0，求x的取值范围；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离ab.(1) 解：x∈(－∞2)∪(2，＋∞)．
(2)证明：对任意两个不相等的正数a、b，有 a3＋b3ab，a2b＋ab2ab.因为|a3＋b3－ab|－|a2b＋ab2－2ab＝(a＋b)(a－b)2>0，所以|a
3＋b3－2abab|>|a2b＋ab2－2abab|，即a3＋b3比a2b＋ab2远离2abab.
1.已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b－证明：要证b－ac0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.∵ a>b>c，∴ a－b>0，a－c>0，∴ (a－b)(a－c)>0显然成立．故原不等式成立．
2.已知等差数列{an}的首项a1＞0，公差d＞0，前n项和为Sn，且m＋n＝2p(m、n、p∈N*)，求证：Sn＋Sm≥2Sp.
证明：∵m2＋n2≥2mn，∴2(m2＋n2)≥(m＋n)2.又m＋n＝2p，∴m2＋n2≥2p2.3.如图，ABCD为直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.
(1) 求证：PA⊥BD；
(2) 若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD.
证明：(1) 因为ABCD为直角梯形，AD2AB2BD， 所以AD2＝AB2＋BD2，因此AB⊥BD.
又PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PBÌ平面PAB， 所以BD⊥平面PAB，
又PAÌ平面PAB，所以PA⊥BD.
(2) 假设PA＝PD，取AD中点N，连结PN、BN， 则PN⊥AD，BN⊥AD，且PN∩BN＝N， 所以AD⊥平面PNB，得PB⊥AD.
又PB⊥BD，且AD∩BD＝D，得PB⊥平面ABCD，所以PB⊥CD.又因为BC⊥CD，且PB∩BC＝B，所以CD⊥平面PBC，所以CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，所以PA≠PD.x－
24.已知f(x)＝ax(a＞1)．
x＋
1(1) 证明f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2) 用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明：(1) 设－1＜x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，ax1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
x－2x－23（x－x）
从而f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－ax1(ax2－x1－1)＋＞0，所以
x2＋1x1＋1（x2＋1）（x1＋1）
f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
x0－2
(2) 设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)＝0，则ax0＝－x0＋1
x0－21
由0＜ax0＜10＜－＜1，即＜x0＜2，此与x0＜0矛盾，故x0不存在．
2x0＋1
1.分析法的特点是从未知看已知，逐步靠拢已知，综合法的特点是从已知看未知，逐步推出未知．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较烦；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
2.反证法是从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，说明结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法．适宜用反证法证明的数学命题：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②关于唯一性、存在性的命题；③结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；④结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题．
请使用课时训练（B）第2课时（见活页）.
[备课札记]
第12篇：5.3.2 命题、定理、证明第1课时教学设计
5.3.2 命题、定理、证明
第1课时教学设计
嵩明县嵩阳一中
陈永丽
一、教学目标
1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设 和结论；
2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.
二、教学重点、难点。
1、教学重点:理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论
2、教学难点:会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.
三、教学过程
问题发现
感受新知
下列语句在表述形式上，有什么共同特点？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等；
（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
学生分析、比较发现：这些语句都是对一件事情作出了判断.
合作探究
获取新知
命题的概念
像这样判断一件事情的语句，叫作命题。 注意
1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.如：相等的角是对顶角.2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么
它就不是命题.如：画线段AB=CD.实战演练 运用新知
例1 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由： （1）邻补角互补吗？ （2）画一条线段AB=5cm; （3）两条直线平行，内错角相等； （4）相等的两个角，一定是对顶角. 解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.合作探究
获取新知
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流.（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； （3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是题设；2.“那么”后接的部分是结论.
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬
命题↗题设: 已知事项。↘结论：由已知事项推出的事
项。
题设（条件）结论
实战演练 运用新知
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的题设和结论.1.对顶角相等； 2.内错角相等；
3.两直线被第三条直线所截，同位角相等；4.同平行于一直线的两直线平行； 5.等角的余角相等.解:1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
2.如果两个角是内错角，那么这两个角相等；
3.两直线被第三条直线所截，如果两个角是同位角，那么这两个角相等；
4.如果两条直线都平行于同一直线，那么这两条直线互相平行；
5.如果两个角相等，那么它们的余角相等.
合作探究
获取新知
真命题与假命题
观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？ 命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”
命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”
命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.
特别规定：
正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.实战演练 运用新知
判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“×” 表示.（1）同旁内角互补（
×
）
（2）一个角的余角小于这个角（×
） （3）相等的两个角是对顶角（
×
） （4）两点可以确定一条直线（ √
） （5）两点之间线段最短（
√
） （6）同角的补角相等（ √
）
（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（√
）
合作探究
获取新知
证明与举反例
公理的概念：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
定理的概念：有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
证明的概念： 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.实战演练 运用新知
例2 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）
∴ ∠1=90°（垂直的定义）
又
b ∥ c（已知） ∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等） ∴ a ⊥ c（垂直的定义）.合作探究
获取新知
举反例
思考：如何判定一个命题是假命题呢？
例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举出如下反例：
如图，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角.确定一个命题是假命题的方法：
只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可.巩固新知 深化理解
1.下列语句中，不是命题的是( D )
A.两点之间线段最短
B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等
D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线 2.下列命题中，是真命题的是( D )
A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C.若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 3.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不
是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
五、课堂小结 通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
六、作业布置
1、课本21页练习题．(做书上)
2、课本22页练习题． (做书上)
3、课本24页第 12题． (做作业本上)
第13篇：《你能证明它们吗》的第三课时教案
课题
1、你能证明它们吗？第三课时
内容简介
这节课主要是研究等边三角形的判定方法和直角三角形的有关性质的证明，以及它们的简单应用
学情分析
虽然有前两节课学习证明的基础，但本节课的定理证明仍有一定难度，教师应注意引导学生细致的思考。
教学目标
知识目标
1、等边三角形判定的证明。
2、直角三角形性质定理的证明
能力目标
提高全面周到的思考问题的能力及灵活运用知识的能力
教育目标
渗透分类的思想方法
教学重点
等边三角形的判定方法和直角三角形的有关性质的证明
教学难点
辅助线的添加方法
教学方法
启发式、讨论式
课前准备
课前预习
书P9-----P1
2教学媒体
投影仪、三角板
教与学活动过程
教学程序
教学过程
通案
学生活动
个案
复习
引入
1、等腰三角形的性质
2、等腰三角形的判定方法
3、反证法
问题
1、一个等腰三角形满足什么条件式便成为等边三角形？
回忆
回答
思考
讨论
新授
注意：教师不要用直接给出结论来代替学生的思考
问题
2、你认为有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形吗？
注意：
1、此结论的证明有一定难度，难在要意识到分别讨论60度的角是底角和顶角的情况，渗透分类的思想方法
2、教师要关注学生得出证明思路的过程
定理：有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形
做一做：
用两个含30度角的三角尺，你能拼成一个怎
样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？
说说你的理由。
问题：由此你能想到，在直角三角形中，30度所对得直角边与斜边有怎样的大小关系？
A A
B C B D
C
延长BC至D，使CD=BC，连接AD
因为 角ACB=90，所以，角ACD=90。因为
AC=AC，所以，三角形ABC全等于三角形
ADC。所以AB=AD。所以，三角形ABD是等边三角形。所以BC=1/2BD=1/2AB
注意：辅助线的做法可以从三角尺的拼摆过程中启发学生。
探索等腰三角形成为等边三角形的条件
回答
回答
理解
动手操作
先发现结论，再进行证明
板书证明过程
应用
练习
课堂
小节
作业
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半
例题：等腰三角形的底角为15度，腰长为2a，求腰上的高。
D
A
B C
已知：在三角形ABC中，AB=AC=2a，角ABC=角ACB=15度，CD是腰AB上的高，求：CD的长。
解：因为 角ABC=角ACB=15度，角DAC=角ABC+角ACB=15度+15度=30度。所以CD=1/2AC=1/2*2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。）
书P12
1、
1、怎样判定等边三角形？
2、直角三角形有什么性质？
书P12
1、
2、
用几何语言表示题意
板书
设计
课题：你能证明它们吗？
定理1：--------- 证明：------- 例题：------- 练习：
--------- ------- -------- -----
定理2：--------- -------- -------- -----
---------- ------- -------- -----
课后记
第14篇：第40、41课时(基本不等式的证明1)(苏教版)
安峰高二数学
第四十课时基本不等式(1)
【教学目标】
1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式
【教学难点】 的证明过程；
基本不等式
【教学过程】 等号成立条件
引入新课
1．当a，b满足条件__________时，基本不等式abab成立， 2
该不等式取符号的条件是____________________________________．
2．算术平均数的定义：
3．几何平均数的定义： 4．算术平均数与几何平均数的关系
（1）基本公式：abab及语言叙述 2
（2）基本不等式的证明方法 （3）基本不等式成立的条件
（4）基本不等式的变形
例题剖析
（1）
例1设a，b为正数，证明下列不等式： ba2；ab（2）a12． a
变化：若a，b都为负数，则分别比较
ba1与2；a与2的大小． aab
第1页（共4页）
例3若a，b都是正整数，求证：2ab
abab
2．
巩固练习
1． 证明：（1）a2b22ab； （2）x212x； （3）x1
x2
2．设x，yR，求证：x24y222x4y．
3．求证：(ab2a2
2)b2
2．
课堂小结
基本不等式证明方法；理解当且仅当ab时取“”号．
第2页（共4页） (x0)．
第四十一课时基本不等式(2)
【教学目标】
1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式
【教学难点】 的证明过程；
基本不等式
【教学过程】 等号成立条件
一 基础题
1．若ab1，P
A．RPQ
A．a lgalgb，Q1ab(lgalgb)，Rlg，则（） 22B．PQRC．QPRD．PRQ
2．若ba0，则下列不等式一定成立的是（） ababb 2ababaC．b2
3．（1）P(4a)(42aba 2abab D．ba2B．bab1)，Q24，则P与Q的大小关系为_________． 2a
1a1log2a与Qlog2的大小关系为_________． 22
2abab． )，求证：4．设a，b(0，ab（2）已知a1，则P
二 提高题
5．设x，yR，求证：xy52(2xy)．
第3页（共4页）
22
6．已知a0，b0且ab，求证：ab
222(a2b2)． a2b2
1． 7．已知a，bR，求证：a1b12
三 能力题
8．求证：（1）log1(ab)log12ab；
2222（2）log1(211)ab1． ab44
第4页（共4页）
第15篇：勾股定理的证明第一课时一二八团中学王贞
第十七章.勾股定理的证明
第一课时
一二八团中学——王贞
一、教学目标
1、知识目标
（1）能说出勾股定理的内容
（2）会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
（3）经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理、整式运算、
面积等的认识。
2、能力目标
（1）经历不同的验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾
股定理的文化价值。
（2）在探索勾股定理的过程中，让学生体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
3、德育目标
（1）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心，增强对数学学习的
兴趣。
（2）通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思
想，激励学生发奋学习。
二、学情分析
勾股定理”这节内容主要讲述了直角三角形三边间的一种关系定理。它是建立在三角
形、全等三角形、等腰三角形等有关知识的基础之上。同时，也是初三几何中解直角三角
形及圆中有关计算的必备知识。更重要的是，纵观初中数学，勾股定理架起了代数和几何
间的桥梁。勾股定理是几何中一颗美丽的奇葩，可谓家喻户晓。它在数学理论体系中的地
位举足轻重，在日常生活、工农业生产中，应用极为广泛。从学生的角度来看，对勾股定
理学习的好坏直接影响他们的后续数学学习。同时还能对学生进行爱国主义教育！
三、重点难点
教学重点：勾股定理
教学难点：通过探索得出勾股定理并掌握勾股定理。
四、教学手段
多媒体辅助教学
五、教学方法
动手演示、拼图、归纳、猜想
六、教学过程
17.1第一学时
教学活动
活动1【导入】“赵爽弦图”
你见过这个图案吗？这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被
称为“赵爽弦图”．
两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外
人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发
行了一枚纪念邮票。
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将
一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾
三、股
四、
弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。
活动2【讲授】邮票的秘密
这是1955年希腊为纪念一位数学家曾经发行的邮票。
观察这枚邮票图案小方格的个数，
你有什么发现?
三的平方加四的平方等于五的平方
活动3【活动】割补法探究直角三角形三边关系
课件展示
活动4【活动】总结勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
∵Rt△ABC中，∠C =90°
∴a2+b2=c2
（勾股定理）
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为 “股”. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称
为“弦”.活动5【练习】勾股定理应用
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为
(
)
A.3 米
B.4 米
C.5米
D.6米
２.回归生活之学以致用
在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米
,一阵大风吹过,红莲被吹
至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少? 3.巩固提高之灵活运用
如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米。
(1)求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
（2）若梯子下部C向后移动2米到C1点，那么梯子上部A向下移动了多少米？
4.应用知识之学海无涯
一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位mm),求两孔中心A、B之间的距离. 解：
过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则
∠ACB=90°，
AC=90-40=50（mm）
BC=160-40=120（mm)
由勾股定理有：
AB2=AC2+BC2=502+1202 =16900（mm2)
∵AB＞0,
∴AB=130(mm) 答：两孔中心A，B的距离为130mm 活动6【活动】谈谈你的收获！
谈谈你的收获，
１.这节课你的收获是什么？
２.理解“勾股定理”应该注意什么问题？
３.你觉得“勾股定理”有用吗？ 教师寄语，
要养成用数学的思维去解读世界的习惯。
只有不断的思考，才会有新的发现；只有量的变化，才会有质的进步。
其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我们的身边, 我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探索，等待我们去发现„„
小结，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2+b2=c2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 活动7【作业】作业快餐
1.完成课本习题１、
2、3（必做）
2.课后小实验：如图,分别以直角三角形的三
边为直径作三个半圆,这三个半圆的面积之
间有什么关系?为什么? （必做）
3.做一棵奇妙的勾股树（选做）
第16篇：证明
证明
××××单位：
兹有××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××。
特此证明。
××××
2012年11月20日
第17篇：证明
证明 模 板
某公司委托XX独家代理“XX”活动，活动一切事宜由XX全权负责。 活动于XX年XX月XX日至XX年XX月XX日举办，地点XX。 特此证明。
XX
XX年 XX月
第18篇：证明
证明
陕西通信技师学院：
兹证明，性别，户口性质，身份证号
/社区居民，其家庭情况如下：
，系二〇一三年月村日
第19篇：证明
证明
同志于年月日至年月日在小学担任代课教师，教龄年。 附：
证明人姓名：
性别为：
身份证号码为：
联系电话：
与被证明人的关系是：
承诺：以上证明材料属实，如果不实，本人愿意承担因此而引发的一切责任。
证明人（签印）：
2013年月日
第20篇：证明
在校证明
兹有***同学，男（或“女”），**族，***省***市人，身份证号码为*******************，系湖南科技大学潇湘学院**级******系**专业**班学生，学号为**********，特此证明。
责任辅导员签名：
湖南科技大学潇湘学院学工部
二〇**年**月**日
贫困生证明
兹有***同学，男（或“女”），**族，***省***市人，身份证号码为*******************，系湖南科技大学潇湘学院**级******系**专业**班学生，学号为**********，于******年被认定为我院*等贫困生，特此证明。
责任辅导员签名：
湖南科技大学潇湘学院学工部
二〇**年**月**日
任职证明
兹有***同学，男（或
“女”），**族，***省***市人，身份证号码为*******************，系 湖南科技大学潇湘学院**级******系**专业**班学生，该生于20**--20**年担任******一职，特此证明。
责任辅导员签名：
湖南科技大学潇湘学院学工部
二〇**年**月**日
医疗证明
兹有***同学，男（或“女”），**族，***省***市人，身份证号码为*******************，系湖南科技大学潇湘学院**级****专业**班学生，学号为**********，因*****************原因，于****年**月**日在****医院住院治疗，住院时间为****年**月**日--****年**月**日，费用总计*****，特此证明。
责任辅导员签名：
分管院领导签名：
湖南科技大学潇湘学院学工部
二〇**年**月**日
