《线性代数》期终试卷1
（ 2学时）
本试卷共七大题
一、填空题 (本大题共7个小题，满分25分)：
1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为 , , , 的属于 的特征向量是
, 则 的属于 的两个线性无关的特征向量是(
)；
2.(4分)设阶矩阵矩阵, 则
的特征值为,,,, 其中 是 的伴随的行列式 (
)；
3.(4分)设 , , 则
(
)；
4.(4分)已知维列向量组的向量空间为,则
的维数dim
(
)；
所生成
5.(3分)二次型经过正交变换可化为
标准型 ,则(
)； 6.(3分)行列式中 的系数是(
)；
7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知
解向量 , 其中 , , 则该方程组的通解是(
)。
二、计算行列式：
(满分10分)
三、设 , , 求 。
(满分10分)
四、取何值时, 线性方程组
有解时求出所有解（用向量形式表示）。
是它的个
无解或有解？ (满分15分)
五、设向量组, ,
线性无关 , 问: 常数
也线性无关。
满足什么条件时, 向量组
(满分10分)
六、已知二次型 ，
(1) 写出二次型 的矩阵表达式；
(2) 求一个正交变换 ，把 化为标准形, 并写该标准型；
(3) 是什么类型的二次曲面?
(满分15分)
七、证明题（本大题共 2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组
线性无关 , 向量
能由
线性表示 , 向量
不能由线性表示 .证明: 向量组 也线性无关。
2.(8分)设是 矩阵, 是 矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组
必有非零解。
《线性代数》期终试卷2
（ 2学时）
本试卷共八大题
一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）：
1. 若 阶方阵 的秩 ，则其伴随阵
。
（
）
2.若 矩阵 和 矩阵 满足 ，则
。
（
）
3.实对称阵 与对角阵 相似： ，这里 必须是正交阵。
（
）
4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。
（
）
5.若 阶方阵 满足 ，则对任意 维列向量 ，均有
。
（
） 6.若矩阵 和 等价，则 的行向量组与 的行向量组等价。
（
）
7.若向量 线性无关，向量 线性无关，则 也线性无关。
（
）
8.是 矩阵，则
。
（
）
9.非齐次线性方程组 有唯一解，则
。
10.正交阵的特征值一定是实数。
（
）
二、设阶行列式：
）
（
试建立递推关系，并求(满分10分)
。
三、设 (满分10分)
， ，并且 ，求
四、设 阵，求 。
，矩阵 满足 ，其中 是 的伴随(满分10分)
五、讨论线性方程组 (满分12分)
的解的情况，在有解时求出通解。
六、求一个正交变换 化为标准形。 (满分14分)
，将二次型
七、已知
3维列向量构成的向量空间，问：
，由它们生成的向量空间记为 ， 为所有
1． 取何值时， 但 ，为什么？
2． 取何值时， ，为什么？ ( 满分 12 分 )
八、证明题（本大题共2个小题，满分12分）： 1．若2阶方阵满足
，证明
可与对角阵相似。
2.若
是正定阵，则其伴随阵 也是正定阵。
《线性代数》期终试卷
3（ 3学时）
一、填空题 (15’) ：
1 ．设向量组(
) ，一个最大线性无关组是 (
).
, 它的秩是2 ．已知矩阵和(
).3 ．设是秩为 的
矩阵 ,
是
相似 , 则x =
矩阵 , 且, 则 的秩的取值范围是
(
).
二、计算题： 1 ．(7’) 计算行列式.2 ．(8’) 设, 求.3 ．(10’) 已知 维向量空间 的两个基分别为 ;
, 向量
的过渡矩阵
; 并求向量
.求由基 在这两个基下的坐标.
到基
4 ．(15’) 讨论下述线性方程组有无穷多解，则必须求出通解 .
的解的情况；若5．(15’)已知为对角阵 .
有一个特征值为, 求正交阵, 使得6 ．(10’) 在次数不超过 3的实系数多项式所成的线性空间 线性变换?为?=
, 求线性变换?在基
中定义
下的矩阵 .
三、证明题：
1． (10’) 已知矩阵与合同, 矩阵与合同, 证明: 分块对角矩阵与也合同.
2 ．(10’) 设特征值与
是正交矩阵 , , 是的特征值 , 是相应于, 的特征向量 , 问 : 与是否线性相关 , 为什么 ? 是否正交 , 为什么 ?
《线性代数》期终试卷
4（ 3学时）
本试卷共九大题
一、选择题（本大题共 4个小题，每小题2分，满分8分）：
1．
若阶方阵均可逆，，则
(A)
(B)
(C)
(D)
答(
)
2．
设是元齐次线性方程组的解空间，其中，则的维数为(A)
(B)
(C)
答(
)
3．
设是维列向量，则=
(A)
(B)
(C)
(D)
答(
)
(D) 4．
若向量组则 (A)
可由另一向量组线性表示，；
(B)
；
(C) 答(
) 的秩的秩；(D) 的秩的秩.
二、填空题（本大题共 4个小题，每小题3分，满分12分）：
1. 若，则
。
2. 设，，，则
3. 设4 阶方阵的秩为2 ，则其伴随阵的秩为
。
4. 设是方阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值是
。
三、计算行列式
，（） （满分8分）
四、设，，，求，使得。
（满分12分）
五、在中有两组基：
和
写出到
的变换公式以及
到
的变换公式。
（满分8分）
取何值时，线性方程组
六、当
有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。 （满分14分）
七、已知，为3阶单位矩阵，为对角阵，并写出该对角阵.（满分16分）
，求一个正交矩阵，使得
八、设为已知的矩阵，集合
下的线性空间； 1．验证对通常矩阵的加法和数乘构成实数域2．当时，求该线性空间的一组基。
（满分10分）
九、证明题（本大题共 2个小题，每小题6分，满分12分）：
1．设由为一向量组，其中线性表示。
线性相关，线性无关，证明能2．若
为阶方阵，，证明：为可逆矩阵。
