运用建构主义理论指导一堂课的教学设计
陶维林
（南京师大附中
邮编210003）
1．教学实录
课题：数列的极限。
目的：建立数列极限的概念。 过程：
教师：前一段时间，我们学习了什么叫数列、数列通项的求法、仔细研究了两个特殊的数列——等差数列、等比数列。今天我们研究数列的另一个侧面：随n不断增大时，an是否“趋向于”某一个常数（虽然“趋向于”并没有确切定义，但是同学们能感觉是什么意思——由“粗”到“细”。板书：研究数列an随n增大时是否趋向于某一个常数）。
请观察下列数列，随n变大时，an是否趋向于某一个常数：
n11（1）an；
（2）an2；
（3）an3(1)n；
n2n1(1)n（4） ann；
（5） an5；
（6）an.2n大部分学生在观察、思索，有的在草稿纸上写、划，有的在议论。
n1‘趋向于’一个常数吗？”
nn11） 几乎全体学生：“趋向于1。”（板书：（1）n,ann（几分钟以后）教师：“第一个数列an1“第二个呢？” “趋向于2。”（板书：（2）n,an22）
2教师（小结）：数列（1）中，an趋向于1；数列（2）中，an趋向于2。 “第三个呢？”
“不趋向于任何常数。”
教师：为什么（提问一个学生）？
学生：它一会儿是3，一会儿是－3，不趋向于一个固定的常数。 教师：噢，“朝三暮四”，不，是“暮负三”。 教师：第四个呢？
n1n“它趋向于＋∞。” 2，
1 （教师提问一个学生）“ann不趋向于一个常数，趋向于‘＋∞’，请问你心目中的
2全体学生都认为数列an‘＋∞’是什么？”
“一个很大很大的数。”“是一亿吗？”“比一亿大。”“十亿行吗？”“比十亿大。” ……。
（学生感到不对劲）“是一个要多大就多大的数。” 教师：能确定这个数吗？学生思考片刻，回答“不能。” 教师：“‘＋∞’不是一个确定的数，是用来描述变量状态的。” 第五个呢？这时学生中出现了很大的分歧。
大部分学生认为不趋于5，认为它就是5，谈不上“趋向于”“不趋向于”5。事实上，学生没有把数列看成函数。
教师未置对否。课后许多老师也觉得“始料未及”。 “最后一个数列呢？”“趋向于零。”
1 “怎样趋向于零。”“象阻尼振动一样，摆幅越来越小。” “能靠上零吗？”“不能。” “这个‘运动’会停止吗？”“不会。”
教师小结各数列是否“趋向于”一个常数的情况（暂时保留学生中的错误认识）。 教师：你们认为随着n的不断变化，数列ann1趋向于1。你们的“趋向于”我还n不明白是怎么回事，我请一个同学来解释一下什么叫“趋向于1”（提问一个学生）。
“就是无限接近1。”
“什么叫‘无限接近’？”
“就是n越来越大，an与1的差越来越小。”学生又补充说“就是距离越来越小。”
“距离比0.1要小，行不行？” “行，只要n比10大就行。”
我们用电脑来验证一下（Maple软件）。这时教室的屏幕上出现数列ann1的图象，n并同时给出y=0.9，y=1.1的图象，故意给出的n的取值范围是1，…，4。图象并不在（0.9，1.1）间。
教师：数列中的各项并不在（0.9，1.1）上，并不靠近1呀。 （片刻）“老师，你给出的n太小了。”
把n的范围设定为（10，20）时，数列的各项都在区间（0.9，1.1）上了。
教师：看样子，当n在（10，20）上时，数列的各项是在（0.9，1.1）上了，会不会n到了（100，120）间，数列有一项跑出（0.9，1.1）呢？
把n的取值范围设定为（100，120），同学们发现数列的各项离开1更近了。 教师：你们认为在区间（0.9，1.1）上，此数列有多少项。 学生：有无限项。
教师：有无限项？赞成的举手（全体同学举了手）。
再给出0.01呢，多少项以后，这个数列的各项就能在区间（0.99，1.01）上，大多数同学说100项以后，但有一个同学不加思索就说10000。
教师：对，是100项以后。刚才，我听到一个同学说10000，你算了吗？ 该学生：没算。只要有就行。 教师：你们认为他的说法对不对？ 学生：？，…，对。
教师：对给出的小正数0.01，只要能找到一项，使这一项以后的各项与1的差的绝对值小于0.01就可以了，不必计较大小。
（然后，就给出的0.01，0.001，用电脑进行了演示）
教师一边与学生讨论，一边板书，至此，黑板形成的板书是：
（1）ann1，n,an1。 n n＞N：
100
1000
10000
…… ｜an1｜＜
： 0.1
0.01
0.001
0.0001
……
教师：我们把第二行中的数记作ε，第一行中的数记作N。
就是不论给定一个多小的正数ε（如0.1，0.01，0.001，0.0001，……），都能找到一个自然数N（如10 ，100，1000，10000，……），使aN以后各项与1的差的绝对值｜an1｜都小于ε，即｜an1｜＜ε恒成立。你们的“趋向于1”是这个意思吗？
“是。”学生一致赞同。
教师小结，提出数列极限的定义（板书）：对于无穷数列{an}，如果存在一个常数A，无论预先指定的多么小的正数ε，都能在数列中找到一项aN，使得这一项后面的所有项与
2 A的差的绝对值都小于ε（即当n＞N时，｜anA｜＜ε恒成立），我们把常数Ａ叫做数列{an}的极限，记作liman＝A。也可以写成：当n→∞时，an→A。
n（板书本节课课题）这就是数列极限的定义。根据这个定义，我们再来查一下其他几个数列。通项公式为an1n的数列为什么没有极限呢？ 2“就是不存在常数A。”（一个学生说） “那么，‘5’是数列｛5｝的极限吗？为什么？”
停了片刻，原先认为‘5’不是数列｛5｝的极限的同学对自己产生怀疑，改变主意，也认为‘5’是数列｛5｝的极限。
教师：对，数列｛5｝的极限就是‘5’。这符合数列极限的定义吗？ “符合数列极限的定义。”
“无论给定多么小的正数ε，从第一项起，｜5－5｜=0＜ε就恒成立。同学们，‘常数列的极限就是这个常数本身’赞不赞成？”
“赞成！”（齐声）
…… 2．教学设想
数列的极限一直是教学的一个难点，因为它要求学生的认识发生从形式逻辑到辩证逻辑的转变。往往是一段时间过后，甚至到了高中毕业，一些学生还弄不清“ε－N”是怎么回事。本节课就是让学生在自己对“趋向于”的粗糙认识上，经过“协商”、“会话”，来完成数列极限的“意义建构”。教师在此过程中始终注意学生是学习的“主体”，尊重他（她）们，不把任何学生还不能接受的教师认识抛给学生，但又不忽视自己的“主导”地位，比如恰当的“设问”。积极引导使学生的感性认识上升为理性认识。
建构主义理论的核心即认为“知识不是被动接受的，而是认知主体积极建构的”。建构主义认为，虽然学生学习的数学都是前人已经建造好了的，但对学生来说，仍是全新的、未知的，需要每个人再现类似的创造过程来形成，即用学生自己的活动对人类已有的数学知识构建起自己的正确理解，这应该是学生亲身参与的充满丰富、生动的概念或思维活动的组织过程（［1］）。
建构主义理论把“情景”、“协作”、“会话”、“意义建构”作为学习的四个要素或四大属性。
“情景”即要求学习环境中的“情景”必须有利于学生对所学内容的“意义建构”。因此这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然他（她）们对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他（她）们自身的感受，运用“观察”、“分析”、“归纳”，也能得到一些数列的“极限”。正是由于认识的非理性化，不少同学认为数列{5}的极限并不是5，这是正常的，这也是认识尚未理性化的必然。在这样的“情景”下，通过“会话”，教师与学生、学生与学生的会话来不断完善学生自己的认识——教师的恰当的“设问”，学生间的“争论”，计算机的运用。当学生把几个数列的“极限”找出来后（其实不全正确），教师反问学生，“你们所说的‘趋向于’是什么含义？能否解释给我听。”把学生的认识向理性化推进。“就是越来越近。”“什么叫‘越来越近’？”“就是距离越来越小。”教师在学生亲身感受的认识基础上不断引导学生把这些粗浅的认识精确化、理性化，从而由学生自然得出：不论给出多么小的正数ε（由0.1，0.01，0.001，……抽象出来），都能找出自然数N（由10，100，1000，……抽象出来），使aN以后的各项与常数A的差的绝对值都小于ε（由“距离越来越小”抽象出来）。这正是数列的极限的定义。由于ε是任意给出的小正数，这正说明“这个‘距离’要多小有多小”。在以上的过程中，离不开学生与学生、教师与学生间的“协作”。其他同学可以从一个同学的发言受到启发，可以从同学间的争论来完善自己的认识，如一些同学为争论“5”是不是数列{5}的极限的举手“表态”。“协作”的过程往往也是学习者对学习资料的收集与整理，假设的提出与验证的过程，一些同学不相信当n＞100时，1与1的差的绝对值小于0.01，为验证an1＜0.01是否成立，打开电脑验证n＞100n时，aN都分布在区间（1－0.01，1＋0.01）上。从实践及理论上完成对数列极限的“意义建1＋
3 构”。“意义建构”是学习的应用也是学习的目标，所要建构的是对事物的性质、规律、事物之间的内在联系。正是由于强调了“情景”、“会话”、“协作”， “意义建构”就变得十分容易。当完成数列极限的意义建构以后，反过来再认识数列{5}得极限，就是理论指导下的实践。学生之间的原有分歧消失，认识达到了新的统一。在这一节课上所出现的对于数列n1{}，当给出ε＝0.01后找N时，一位学生不加思素地说N＝10000。这正说明他理解了n数列极限的定义。这一节课的最后还让同学们举出几个极限为“3”的数列的例子，并要求复杂些，不要让老师一眼就看出来。同学们积极参与，跃跃一试，较好的完成了任务。
参考文献：
1 《中学教学全书》（数学卷）P517518，上海教育出版社，1996.12，第一版。
获江苏省中学数学教学专业委员会论文评比一等奖；
全文发表于苏州大学《中学数学月刊》1998年11期。
