根据数列递推公式求其通项公式方法总结

发布时间：2020-03-02 04:18:34 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

根据数列递推公式求其通项公式方法总结

已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。

一、an1anf(n)型数列，（其中f(n)不是常值函数) 此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为an1anf(n)，从而就有

a2a1f(1),a3a2f(2),,anan1f(n1).

将上述n1个式子累加，变成ana1f(1)f(2)f(n1)，进而求解。例1.在数列{an}中,a12,an1an2n1,求an.解：依题意有

a2a11,a3a23,,anan12n3

逐项累加有ana1132n3而ann22n3。

注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.

(12n3)(n1)(n1)2n22n1，从

2类似题型练习：已知

{an}满足a11，

an1an1n(n1)求{an}的通项公式。

二、an1anf(n)型数列，（其中f(n)不是常值函数) 此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为

an1f(n)，从而就有 anaaa2f(1),3f(2),,nf(n1) a1a2an1将上述n1个式子累乘，变成

anf(1)f(2)f(n1)，进而求解。 a1例2.已知数列{an}中a112n3,anan1(n2)，求数列{an}的通项公式。 32n1 1

aa21a33a452n3,,,,n,将这n1个式子累乘，a15a27a39an12n1a131113得到n，从而an，当n1时，2(2n1)(2n1)34n1a1(2n1)(2n1)111aa，所以。 1n224n134n1解：当n2时，注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.类似题型练习：在数列{an}中, an>0,a12,nan2(n1)an12an1an,求an.提示：依题意分解因式可得[(n1)an1nan](an1an)0，而an>0,所以，即(n1)an1nan0an1n。 ann

1三、an1panq型数列

此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设

an1mp(anm)，展开整理an1panpmm，比较系数有pmmb，所以mb，所以ab是等比

np1p1数列，公比为p，首项为a1b。二是用做差法直接构造，an1panq，p1anpan1q，两式相减有an1anp(anan1)，所以an1an是公比为p的等比数列。

例3.在数列{an}中，a11，当n2时，有an3an12，求{an}的通项公式。解法1：设anm3即有an3an12m，对比an3an12，得m1，(an1m)，于是得an13(an11)，数列{an1}是以a112为首项，以3为公比的等比数列，所以有an23n11。

解法2：由已知递推式，得an13an2,an3an12,(n2)，上述两式相减，得an1an3(anan1)，因此，数列{an1an}是以a2a14为首项，以3为公比的等比数列。所以an1an43n1，即3an2an43n1，所以an23n11。

类似题型练习：已知数列an满足a11,an12an1(nN*).求数列an的通项公式.注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.四．an1panfn型数列（p为常数）此类数列可变形为

anan1anfn，则n可用累加法求出，由此求得an.n1nn1pppp 2

例4已知数列an满足a11,an13an2n1,求an.解:将已知递推式两边同除以2n1得

an13anan1b,设,故有nn1nn2222353n1n1n1bn12(bn2，)bn2,从而.a532nn22注：通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.若f(n)为n的一次函数,则an加上关于n的一次函数构成一个等比数列; 若f(n)为n的二次函数, 则an加上关于n的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.例5．已知数列an满足a11,当n2时,an1an12n1,求an.2解:作bnanAnB,则anbnAnB,an1bn1A(n1)B代入已知递推式中得:bn1111bn1(A2)n(AB1).22221A20A42令 B61A1B10221bn1且bnan4n6 233显然,bnn1,所以ann14n6.22这时bn注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.

类似题型练习：

（1）已知an满足a12,an12an2n1，求an。

（2）已知数列{an}，Sn表示其前n项和，若满足Snann23n1，求数列{an}的通项公式。

S1n1提示：（2）中利用an，把已知条件转化成递推式。

SS,n2n1nan

五、AanBanC型数列（A,B,C为非零常数）

这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利 3

地转化为an1panq型数列。

例6．已知数列an满足a12,an12an,求an.an2解:两边取倒数得:

2111n111,所以(n1)，故有an。

nana122an1an22n1an类似题型练习：数列{an}中，an1n1,a12，求{an}的通项。

2an六.an2pan1qan型数列（p,q为常数）