《同底数幂的除法》参考教案一

发布时间：2020-03-04 01:15:48 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

同底数幂的除法

一、教学目标

(一)知识目标

1.经历探索同底数幂除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.2.了解同底数幂除法的运算性质，并能解决一些实际问题.3.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(二)能力目标

1.在进一步体会幂的意义的过程中，发展学生的推理能力和有条理的表达能力.2.提高学生观察、归纳、类比、概括等能力.(三)情感目标

在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心，提高数学素养.

二、教学重难点

（一）教学重点

同底数幂除法的运算性质及其应用.

（二）教学难点

零指数幂和负整数指数幂的意义.

三、教具准备

投影片五张

第一张：提出问题，记作(§1.5 A) 第二张：做一做，记作(§1.5 B) 第三张：例1，记作(§1.5 C) 第四张：想一想，猜一猜，记作(§1.5 D) 第五张：例2，记作(§1.5 E)

四、教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课出示投影片(§1.5 A)：

图1－15 一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？

［师］这是和数学有密切联系的现实世界中的一个问题，下面请同学们根据幂的意义和除法的意义，得出这个问题的结果.［生］根据题意，可得需要这种杀菌剂1012÷109个.而1012÷109=109=101212个101010101010109个10

=10×10×10=1000(个) ［生］我是这样算1012÷109的.1012÷109=(109×103)÷109 =101010993=103=1000.［师］1012÷109是怎样的一种运算呢？

［生］1012×109是同底数幂的乘法运算，1012÷109我们就称它为同底数幂的除法运算.［师］很好！通过上面的问题，我们会发现同底数幂的除法运算和现实世界有密切的联系，因此我们有必要了解同底数幂除法的运算性质.Ⅱ.了解同底数幂除法的运算及其应用

［师］下面我们就先来看同底数幂除法的几个特例，并从中归纳出同底数幂除法的运算性质.(出示投影片§1.5 B) 做一做：计算下列各式，并说明理由(m>n).(1)108÷105;(2)10m÷10n;(3)(－3)m÷(－3)n.［生］解：(1)108÷105 =(105×103)÷105

——逆用同底数幂乘法的性质 =103；

［生］解：(1)108÷105 =105=1010101010101010

1010101010108

——幂的意义

=1000=103；

［生］解：(2)10m÷10n =m个10101010101010n个10

——幂的意义

=101010(mn)个10=10m－n

——乘方的意义

(3)(－3)m÷(－3)n =(3)(3)(3)(3)(3)(3)n个(3)m个(3)

——幂的意义

=(3)(3)(3)(mn)个(3)

——约分

=(－3)m－n

——乘方的意义

［师］我们利用幂的意义，得到： (1)108÷105=103=108－5; (2)10m÷10n=10m－n(m>n); (3)(－3)m÷(－3)n=(－3)m－n(m>n).观察上面三个式子，运算前后指数和底数发生了怎样的变化？你能归纳出同底数幂除法的运算性质吗？

［生］从上面三个式子中发现，运算前后的底数没有变化，商的指数是被除数与除数指数的差.［生］从以上三个特例，可以归纳出同底数幂的运算性质：am÷an=am－n(m,n是正整数且m>n).［生］小括号内的条件不完整.在同底数幂除法中有一个最不能忽略的问题：除数不能为0.不然这个运算性质无意义.所以在同底数幂的运算性质中规定这里的a不为0，记作a≠0.在前面的三个幂的运算性质中，a可取任意数或整式，所以没有此规定.［师］很好！这位同学考虑问题很全面.所以同底数幂的除法的运算性质为：

呢？

［生］同底数幂相除，底数不变，指数相减.［师］能用幂的意义说明这一性质是如何得来的吗？［生］可以.由幂的意义，得 a÷a=mnm个aaaaam÷an=am－n(a≠0,m、n都为正整数，且m>n)运用自己的语言如何描述aaan个a=

aaa(mn)个a=am－n.(a≠0) 出示投影片(§1.5 C) ［例1］计算：

(1)a7÷a4;(2)(－x)6÷(－x)3; (3)(xy)4÷(xy);(4)b2m+2÷b2; (5)(m－n)8÷(n－m)3;(6)(－m)4÷(－m)2.(7)地震的强度通常用里克特震级表示.描绘地震级数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是107.1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震.加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？

分析：开始练习同底数幂的除法运算时，不提倡直接套用公式，应说明每一步的理由，进一步体会乘方的意义和幂的意义.解：(1)a7÷a4=a7－4=a3;(a≠0) (2)(－x)6÷(－x)3=(－x)6－3=(－x)3=－x3;(x≠0) (3)(xy)4÷(xy)=(xy)4－1=(xy)3=x3y3;(xy≠0) (4)b2m+2÷b2=b(2m+2)－2=b2m;(b≠0) (5)(m－n)8÷(n－m)3=(n－m)8÷(n－m)3=(n－m)8－3=(n－m)5;(m≠n) (6)(－m)4÷(－m)2=(－m)4－2=(－m)2=m2.(m≠0) (7)根据题意，得： 106÷104=106－4=102=100 所以加利福尼亚的地震强度是荷兰的100倍.评注：1°am÷an=am－n(a≠0,m、n是正整数，且m>n)中的a可以代表数，也可以代表单项式、多项式等.2°(5)小题，(m－n)8÷(n－m)3不是同底的，而应把它们化成同底，或将(m－n)8化成(n－m)8,或把(n－m)3化成－(m－n)3.3°(6)小题，易错为(－m)4÷(－m)2=－m2.－m2的底数是m,而(－m)2的底数是－m,所以(－m)4÷(－m)2=(－m)2=m2.Ⅲ.探索零指数幂和负整数指数幂的意义出示投影片(§1.5 D) 想一想：

10000=104, 16=24, 1000=10( ), 8=2( ), 100=10( ), 4=2( ), 10=10( ).2=2( ).猜一猜

1=10( ), 1=2( ), 0.1=10( ), 0.01=10( ), 0.001=10( ).

121418=2( ), =2( ), =2( )

［师］我们先来看“想一想”，你能完成吗？完成后，观察你会发现什么规律？

［生］1000=103， 8=23，

100=102，

4=22， 10=101. 2=21.

110观察可以发现，在“想一想”中幂都大于1，幂的值每缩小为原来的12(或)，指数就会减小1.［师］你能利用幂的意义证明这个规律吗？

［生］设n为正整数，10n>1,当它缩小为原来的

110时，可得10n×110=10n101=2n个1010101010=

101010(n1)个10=10n1;又如2n>1,当它缩小为原来的1时，可得

－

22×=2nn2=2n÷2=2n－1.［师］保持这个规律，完成“猜一猜”.［生］可以得到猜想 1=100， 1=20，

110110011000=0.1=10－1, －

1412=2－1, =0.01=102, =0.001=10－3.

=22,

－

18=2－3.［师］很棒！保持上面的规律，大家可以发现指数不是我们学过的正整数，而出现了负整数和0.正整数幂的意义表示几个相同的数相乘，如an(n为正整数)表示n个a相乘.如果用此定义解释负整数指数幂，零指数幂显然无意义.根据“猜一猜”，大家归纳一下，如何定义零指数幂和负整数指数幂呢？

［生］由“猜一猜”得 100=1， 10－1=0.1=1101, =1100010－2=0.01=11001102,

110－3=0.001=20=1 =

103.2－1=121, 1222－2=1=4, .23=1=－1238所以a0=1, ap=－1ap(p为正整数).［师］a在这里能取0吗？

［生］a在这里不能取0.我们在得出这一结论时，保持了一个规律，幂的值每缩小为原来的1,指数就会减少1，因此a≠0.a［师］这一点很重要.0的0次幂，0的负整数次幂是无意义的，就如同除数为0时无意义一样.因为我们规定：a0=1(a≠0);a－p=

1ap(a≠0,p为正整数) 我们的规定合理吗？我们不妨假设同底数幂的除法性质对于m≤n仍然成立来说明这一规定是合理的.例如由于103÷103=1,借助于同底数幂的除法可得103÷103=103－3=100,因此可规定100=1.一般情况则为am÷am=1(a≠0).而am÷am=am－m=a0,所以a0=1(a≠0); 而am÷an=m个aaaaaaan个a(m

1aaa(nm)个a=

1anm,根据同底数幂除法得am÷an=am－n(m

1anm,即a－p=

1ap(a≠0,p为正整数).因此上述规定是合理的.出示投影片(§1.5 E) ［例3］用小数或分数表示下列各数： (1)10－3;(2)70×8－2;(3)1.6×10－4.解：(1)10－3=1103=111000164=0.001; ; (2)70×8－2=1×82=(3)1.6×10－4=1.6×Ⅳ.课时小结

1104=1.6×0.0001=0.00016.［师］这一节课收获真不小，大家可以谈一谈.［生］我这节课最大的收获是知道了指数还有负整数和0指数，而且还了解了它们的定义：a0=1(a≠0),a－p=

1ap(a≠0,p为正整数).［生］这节课还学习了同底数幂的除法：am÷an=am－n(a≠0,m,n为正整数，m>n),但学习了负整数和0指数幂之后，m>n的条件可以不要，因为m≤n时，这个性质也成立.［生］我特别注意了我们这节课所学的几个性质，都有一个条件a≠0,它是由除数不为0引出的，我觉得这个条件很重要.［师］同学们收获确实不小，祝贺你们！ Ⅴ.课后作业

1.课本P21，习题1.7第

1、

2、

3、4题.2.总结幂的四个运算性质，并反思作业中的错误.Ⅵ.活动与探究

解关于x的方程(x－1)|x|－1=1.［过程］这个方程是一个指数方程，乍一看无从下手，但冷静思考后你会发现方程的左边是幂的形式，右边是1，一个数的幂是1有三种情况：其一，1n=1;其二，(－1)2n=1;其三， a0=1(a≠0).所以解此方程只需抓住这三点便能解决.

［结果］解：分三种情况：

(1)当x－1=1时，即x=2时，方程左边=1|2|－1=1，右边=1，所以左边=右边，x=2是此方程的解；

(2)当x－1=－1时，即x=0时，方程左边=(－1)|0|－1=(－1)－1=－1,右边=1，所以左边≠右边，x=0不是方程的解；

(3)当|x|－1=0且x－1≠0时，即x=－1时，方程左边=(－1－1)|1|－1=(－2)0=1，右边=1，所以左边=右边，x=－1是方程的解.综上所述，方程的解为2或－1.

五、板书设计

§1.5 同底数幂的除法 1.同底数幂的除法

归纳：am÷an=am－n(a≠0,m、n都是正整数且m>n) 说明：a÷a=mn