1.1.2《余弦定理》导学案
1.掌握余弦定理的两种表示形式; 2.证明余弦定理的向量方法;
本的解三角形问题.
【重点难点】 1.重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.2.难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.
【知识链接】
复习1:在一个三角形中,各和它所对角的的相等,即==.
复习2:在△ABC中,已知c10,A=45,C=30,解此三角形.
思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?
【学习过程】 ※ 探究新知
问题:在ABC中,AB、BC、CA的长分别为c、a、b. ∵AC, ∴ACAC
同理可得:a2b2c22bccosA,c2a2b22abcosC.
新知:余弦定理:三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍.
思考:这个式子中有几个量?
从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?
从余弦定理,又可得到以下推论:
b2c2a
2,,. cosA2bc
[理解定理]
(1)若C=90,则cosC,这时c2
a2b2
由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
(2)余弦定理及其推论的基本作用为:
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;
②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
试试:
(1)△ABC
中,a,c2,B150,求b.
(2)△ABC中,a
2,b
,c1,求A.
※ 典型例题
例1.在△ABC
中,已知a
bB45,求A,C和c.
变式:在△ABC中,若AB
,AC=5,且cosC=9
10,则BC=________.
例2.在△ABC中,已知三边长a3,b
4,c,求三角形的最大内角.
变式:在ABC中,若a2b2c2bc,求角A.
【学习反思】
※ 学习小结
1.余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;
2.余弦定理的应用范围:
① 已知三边,求三角;
② 已知两边及它们的夹角,求第三边.
※ 知识拓展
在△ABC中,
若a2b2c2,则角C是直角;
若a2b2c2,则角C是钝角;
222
).A.很好B.较好C.一般D.较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1.已知a
c=2,B=150°,则边b的长为().
2.已知三角形的三边长分别为
3、
5、7,则最大角为().A.60B.75C.120D.150
3.已知锐角三角形的边长分别为
2、
3、x,则x的取值范围是().A
x
<x<
5C. 2<x
D
<x<5 4.在△ABC中,|AB|=3,|AC|=2,AB与AC的夹角为60°,则|AB-AC|=________. 5.在△ABC中,已知三边a、b、c满足
b2a2c2ab,则∠C等于.
1.在△ABC中,已知a=7,b=8,cosC=13
14,求最大角的余弦值.
2.在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,求ABBC的值.
高中数学 1.1.2 集合间的基本关系学案 新人教A版必修1