1.1.2余弦定理 教材分析
三维目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
教学建议
课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的
方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的 启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.导入一
提问1：上节课，我们学习了正弦定理，解决了有关三角形的两类问题：已知两角和任意一边；②已知两边和其中一边的对角.三角形中还有怎样的问题没有解决？
已知两边和夹角；已知三边.
首先分析最特殊的三角形——直角.如图1.已知两边a,b及夹角C90，能否求第三边？
勾股定理c2a2b
2提问2：在斜三角形中边和角有怎样的关系？
在△ABC中，当C90时，有c2a2b2．
实验：若a,b边的长短不变，C的大小变化,c2与a2b2有怎样的大小关系呢？
如图2，若C90时，由于b边与a边的长度不变，所以c边的长度变短，即c2a2b2.如图3，若C90时，由于b边与a边的长度不变，所以c边的长度变长，即c2a2b2.当C90时，c2a2b2，那么c2与a2b2到底相差多少呢？与怎样的角有关呢？显然应与∠C的大小有关.
图1 图2 图
3导入新课二
师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看如图(1)，
在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题
在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示
A
师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解
解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,
根据勾股定理可得
A2=CD2+BD
∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD
又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD
∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD.
又∵在Rt△ADC中,AD=B·COs
A
∴a2=b2+c2-2abcosA
.
类似地可以证明b2=c2+a2-2cacosB
c2=a2+b2-2abcos
C
另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.
