北师大版初中证明题知识点大全
一、相交线与平行线
1、平行线的性质
(1)两线平行,内错角相等 (2)两线平行,同位角相等 (3)两线平行,同旁内角互补
2、平行线的判定
(1)内错角相等,两线平行 (2)同位角相等,两线平行 (3)同旁内角互补,两线平行 (4)同平行于一线的两线平行 (5)同垂直于一线的两线平行
二、角平分线
1、角平分线的性质
定义:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、角平分线的判定
(1)在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.(2)把一个角分成相同角度的线叫做角平分线。
3、三角形三内角的平分线性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
三、垂直平分线
1、垂直平分线的意义及性质
(1)定义:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 (2)性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 (3)三角形三条边的垂直平分线的性质:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
2、垂直平分线的判定
线段的中线并且垂直于这条线段
四、三角形全等
1、全等三角形的判定
(1)定理:三边分别相等的两个三角形全等.(SSS) (2)定理:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.(SAS) (3)定理:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.(ASA)
(4)定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全 等.(AAS) (5)定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(HL)
2、全等三角形的性质
全等三角形对应边相等、对应角相等.
五、相似三角形
1.定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫相似三角形. 2.相似比定义:相似三角形对应边的比. 3.相似三角形的判定
(1)对应边相等,对应角成比例。 (2)两角对应相等的两个三角形相似。AA (3)两角对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。SAS (4)三边对应成比例的两个三角形相似。SSS 4.相似三角形的性质:对应角相等,对应边成比例。
5、相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
六、勾股定理
222(1)若三角形三边长a,b,c满足abc,那么这个三角形是直角三角形三角形
222(2)若abc,时,以a,b,c为三边的三角形是三角形; 222(3)若abc,时,以a,b,c为三边的三角形是三角形;
(4)用含字母的代数式表示n组勾股数:
2
2n1,2n,n1(n2,n为正整数);
2n1,2n22n,2n22n1(n为正整数) m2n2,2mn,m2n2(mn,m,n为正整数)
七、等腰三角形
1、等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质: (1)等腰三角形的两个底角相等
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),
(3)等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定:
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形。
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等
八、等边三角形
1、等边三角形:三边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质:
(1)具有等腰三角形的所有性质。
(2)等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。
3、等边三角形的判定
(1)三边都相等的三角形是等边三角形。 (2):三个角都相等的三角形是等边三角形 (3):有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
九、直角三角形
1、直角三角形的性质
(1)定理:直角三角形的两个锐角互余.(2)定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.(3)勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
2、直角三角形的判定
(1)定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.(2)定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
十、平行四边形
1、平行四边形的性质
(1)定理:平行四边形的对边相等.(2)定理:平行四边形的对角相等.(3)定理:平行四边形的对角线互相平分.(4)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.
2、平行四边形的判定
(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3)定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(4)定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
十一、特殊平行四边形
菱形
1、菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形(1)是平行四边形;(2)一组邻边相等.
2、菱形的性质:具有平行四边形的所有性质。还有以下个性: (1)菱形的四条边都相等;
(2)菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角; (3)菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形。
3、菱形的判定
(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
注意此方法包括两个条件:是一个平行四边形;两条对角线互相垂直. (2)四边都相等的四边形是菱形.
矩形
1、矩形定义:有个一角是直角的平行四边形叫做矩形 (1)矩形是特殊的平行四边形;(2)有一个角是直角.
2、矩形的性质:具有平行四边形的所以性质。还有以下个性: 性质1 矩形的四个角都是直角; 性质2 矩形的对角线相等。
矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形。
3、矩形的判定:
(1)有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(定义法) (2)对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形.
注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)对角线相等 (3)都是直角的四边形是矩形.
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形
1、正方形的定义:有一组对边直平行且相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
注意:
1、正方形概念的三个要点:(1)是平行四边形;(2)有一组邻边相等;(3)有一个角是直角.
强调:正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思: ①有一组邻边相等的平行四边形(菱形), ②有一个角是直角的平行四边形(矩形)。
说明:正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形.
2、正方形的性质:具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质: (1)边:两组对边平行且相等; (2)角:四个角都是直角;
(3)对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. (4)正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点;
(5)正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴;
注意:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质.
3、正方形的判定方法:
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形; (2)对角线互相垂直的矩形是正方形; (3)有一个角是直角的菱形是正方形; (4) 对角线相等的菱形是正方形.注意:要确定一个四边形是正方形,应先确定它是矩形或是菱形,然后再加上相应的条件,确定是正方形.
十二、梯形
1、梯形的定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、等腰梯形定义:两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
3、直角梯形定义:一条腰和底边垂直梯形叫做直角梯形。
4、等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。
6、等腰梯形的判定:同一同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 十
三、三角形高,中线,角平分线,中位线
三角形的角平分线
1、定义:在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2、性质:三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。
三角形的中线:
1、定义:在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
2、性质:三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的内部。 三角形的高线:
1、定义:从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。
2、性质:三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部;直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点;钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部;
三角形的中位线
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.性质:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
3、由三角形的三条中位线,可以得出以下结论:
三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半; 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形; 三条中位线将三角形划分出三个面积相等的平行四边形.
十四、三角形内角和,补角,余角,外角
1、三角形的内角的关系:
三角形三个内角和等于180°。 直角三角形的两个锐角互余。
2、余角、补角和对顶角 (1)余角:
定义:如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角。 性质:同角或等角的余角相等。 (2)补角:
定义:如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角。 性质:同角或等角的补角相等。 (3)对顶角:
定义:我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。 对顶角的性质:对顶角相等。
3、外角
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。
十五、多边形的内角和与外角和
(n2)·180°.定理:n边形的内角和等于定理:多边形的外角和都等于360°.1n(n3)2备注:n边形共有条对角线.