(1) 如图，在三角形ABC中，BD,CE是高，FG分别为ED,BC的中点，O是外心，求证AO∥FG 问题补充：
证明:延长AO,交圆O于M,连接BM,则:∠ABM=90°,且∠M=∠ACB.∠AEC=∠ADB=90°,∠EAC=∠DAB,则⊿AEC∽⊿ADB,AE/AD=AC/AB;
又∠EAD=∠CAB,则⊿EAD∽⊿CAB,得∠AED=∠ACB=∠M.
∴∠AED+∠BAM=∠M+∠BAM=90°,得AO⊥DE.--------(1)
连接DG,EG.点G为BC的中点,则DG=BC/2;(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半) 同理可证:EG=BC/2.故DG=EG.
又F为DE的中点,则FG⊥DE.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)-----------------(2) 所以,AO∥FG.
(2) 已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点
延长LM至E，使LM＝ME。
∵AM＝MB，LM＝ME，∴ALBE是平行四边形，∴AL＝BE，AL∥EB，∴LN/EN＝DN/BN。
延长CN交AB于F，令LC与AB的交点为G。。
∵AB是梯形ABCD的底边，∴BF∥CD，∴CN/FN＝DN/BN。
由LN/EN＝DN/BN，CN/FN＝DN/BN，得：LN/EN＝DN/BN，∴LC∥FE，∴∠GLM＝∠FEB。
由AL∥EB，得：∠LAG＝∠EBF，∠ALM＝∠BEM。
由∠ALM＝∠BEM，∠GLM＝∠FEB，得：∠ALM－∠GLM＝∠BEM－∠FEB，
∴∠ALG＝∠BEF，结合证得的∠LAG＝∠EBF，AL＝BE，得：△ALG≌△BEF，∴AG＝BF。
∵AC＝BC，∴∠CAG＝∠CBF，结合证得的AG＝BF，得：△ACG≌△BCF，∴ACL＝∠BCN。
(3) 如图,三角形ABC中,D,E分别在边AB,AC上且BD=CE,F,G分别为BE,CD的中点,直线FG交
AB于P,交AC于Q.求证:AP=AQ
取BC中点为H
连接HF,HG并分别延长交AB于M点，交AC于N点
由于H，F均为中点
易得：
HM‖AC,HN‖AB
HF=CE/2,HG=BD/
2得到：
∠BMH=∠A
∠CNH=∠A
又：BD=CE
于是得：
HF=HG
在△HFG中即得：
∠HFG=∠HGF
即：∠PFM=∠QGN
于是在△PFM中得：
∠APQ=180°-∠BMH-∠PFM=180°-∠A-∠QGN
在△QNG中得：
∠AQP=180°-∠CNH-∠QGN=180°-∠A-∠QGN
即证得：
∠APQ=∠AQP
在△APQ中易得到： AP=AQ
(4) ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心O，O，O，O．求证：OOOO为矩形． 123
41234
已知锐角三角形ABC的外接圆O，过B,C作圆的切线交于E，连结AE，M为BC的中点。求证角BAM=角EAC。
设点O为△ABC外接圆圆心，连接OP；
则O、E、M三点共线，都在线段BC的垂直平分线上。
设AM和圆O相交于点Q，连接OQ、OB。
由切割线定理，得：MB² = Q·MA ；
由射影定理，可得：MB² = ME·MO ；
∴MQ·MA = ME·MO ，
即MQ∶MO = ME∶MA ；
又∵ ∠OMQ = ∠AME ，
∴△OMQ ∽ △AME ，
可得：∠MOQ = ∠MAE 。
设OM和圆O相交于点D，连接AD。
∵弧BD = 弧CD ，
∴∠BAD = ∠CAD 。
∵∠DAQ = (1/2)∠MOQ = (1/2)∠MAE ，
∴∠DAE = ∠MAE∠DAE = ∠CAD - ∠DAQ = ∠CAM 。
设AD、BE、CF是△ABC的高线，则△DEF称为△ABC的垂足三角形，证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角 设交点为O，
OE⊥EC，OD⊥DC，
则CDOE四点共圆，
由圆周角定理，
∠ODE=∠OCE。
CF⊥FC，AD⊥DC，
则ACDF四点共圆，
由圆周角定理，
∠ADF=∠ACF=∠OCE=∠ODE，
AD平分∠EDF。
其他同理。
平行四边形内有一点P，满足角PAB=角PCB，求证：角PBA=角PDA
过P作PH//DA，使PH=AD，连结AH、BH
∴四边形AHPD是平行四边形
∴∠PHA=∠PDA，HP//=AD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//=BC
∴HP//=BC
∴四边形PHBC是平行四边形
∴∠PHB=∠PCB
又∠PAB=∠PCB
∴∠PAB=∠PHB
∴A、H、B、P四点共圆
∴∠PHA=∠PBA
∴∠PBA＝∠PDA
补充：
补充：
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，
若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．
已知点o为三角型ABC在平面内的一点，且向量OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,，则O为三角型ABC的（）
只说左边2式子 其他一样
OA2+BC2=OB2+CA2 移项后平方差公式可得
(OA+OB)(OA-OB)=(CA+BC)(CA-BC)化简
得 BA(OA+OB)=BA(CA-BC)
移项并合并得BA(OA+OB+BC-CA)=0
即 BA*2OC=0 所以BA和OC垂直
同理AC垂直BO BC垂直AO哈哈啊是垂心
设H是△ABC的垂心，求证：AH2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2．
作△ABC的外接圆及直径AP．连接BP．高AD的延长线交外接圆于G，连接CG． 易证∠HCB=∠BCG，
从而△HCD≌△GCD．
故CH=GC．
又显然有∠BAP=∠DAC，
从而GC=BP．
从而又有CH2+AB2=BP2+AB2=AP2=4R2．
同理可证AH2+BC2=BH2+AC2=4R2．
