必修51.1.1正弦定理(学案)
【学习要求】
1.发现并掌握正弦定理及证明方法。
2.会初步应用正弦定理解斜三角形.
3.三角形的面积公式
【学习过程】
1.正弦定理证明方法:(1)定义法(2)向量法(
3法四:法一:(等积法)在任意斜△ABC当中,
S△ABC=absinCacsinBbcsinA.两边同除以abc即得:
法三:(外接圆法)
如图所示,∠A=∠D,
∴CD2R.
同理2R ==.
可将正弦定理推广为:abc== =2R(R为△ABC外接圆半sinAsinBsinC12121212abc==.sinAsinBsinC径).
2.正弦定理:在一个三角形中,各边与它所对角的正弦的比相等,都
等于这个三角形的外接圆的直径,即
注意:正弦定理本质是三个恒等式:
三角形的元素:a,b,c,,,C
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。
3.定理及其变形 :(1)sinA:sinB:sinC=a:b:c;
abcabc (2)====2R; sinAsinBsinCsinAsinBsinC
(3)a=2RsinA,;b=_2RsinB ;c=2RsinC;
abc(4)sinA=;sinB=;sinC=.2R2R2R
4.正弦定理可以解决的问题:
(1)_已知两角和任意一边,求其他两边和一角; (唯一解) abc=== 2RsinAsinBsinCabcbac,, =.sinAsinCsinCsinBsinCsinB
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他的边和两角.(常见:大一小二)
5.常用面积公式:
对于任意ABC,若a,b,c为三角形的三边,且A,B,C为三边的对角,则三角形的面积为:
111①SABC_____ha(ha表示a边上的高).②SABCabsinCacsinB____________ 22
2例1:在ABC中,已知A45,B30,c10,求b.
例2:在ABC中,已知A45,a2,b2,求B
例3:在ABC中,已知B45,a,b2,求A,C和c
总结:(1)已知两角和任意一边,求解三角形时,注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角;应用正弦定理时注意边与角的对应性
(2)应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由sinC求角C时,讨论角C为锐角或钝角的情况.例4不解三角形,判断下列三角形解的个数.
(l)a=5,b=4 ,A=120(2)a =7,b=l4,A= 150(3)a =9,b=l0,A= 60(4)c=50,b=72,C=135练习:
1、在△ABC中,一定成立的是
A、acosAbcosBB、asinAbsinBC、asinBbsinAD、acosBbcosA
2.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c3.已知在△ABC中,a=10,∠A=60°,b=10,则cosB=___________.
4.在△ABC中,已知a2,b2,A30,解三角形。
5.(1)在ABC中,已知b,B600,c1,求a和A,C
(2)ABC中,c,A450,a2,求b和B,C
6.在△ABC中,若∠A=60,∠B=45,a求△ABC的面积。 00