高中数学《2.4等比数列》第1课时评估训练 新人教A版必修5[推荐]

2.4 等比数列

第1课时

等比数列的概念及通项公式

双基达标 限时20分钟

1，3，63，则它的第四项是

A．1B.83C.93D.123解析 a＝aa2643q＝a3a＝3×＝＝30＝1.

13

答案 A

2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于

A．64B．81C．128D．243

解析 由a1＋a1q＝3，，得a1＝1，

aa2

1q＋1q＝6， q＝2， 

∴a6

7＝a1q＝64，选A.

答案 A

3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么

A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9

解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，

∴b＝－3，且a，c必同号．

∴ac＝b2＝9.

答案 B

4．在等比数列{an}中，若2a4＝a6－a5，则公比q是________．

解析 法一 由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，

∴q＝－1或q＝2.

法二 ∵a5＝a4q，a6＝a4q2，

∴由已知条件得2a2

4＝a4q－a4q，

即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.

答案 －1或2

5．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.

()．)． ()． 1(

解析 由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，

633得a＝5，则a1＝4，qan＝4·n－1.422

3答案 4·n－1 2

6．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn＋n，n∈N，其中k是常数．

(1)求a1及an；

(2)若对于任意的m∈N，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．

解 (1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1， *2*

an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．

a1＝k＋1也满足上式，

所以an＝2kn－k＋1，n∈N.

(2)由am，a2m，a4m成等比数列，

得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，

将上式化简，得2km(k－1)＝0，

因为m∈N，所以m≠0，故k＝0或k＝1.

综合提高

7．下列数列为等比数列的是

A．2,22,222，…限时25分钟()． **111B.23，… aaaC．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…D．0,0,0，…

22211解析 A项中，≠2，∴A不是；B项是首项为C项中，当s22aa

＝1时，数列为0,0,0，…，∴不是；D项显然不是．

答案 B

8．设x∈R，记不超过x

()．

A．是等差数列但不是等比数列

B．是等比数列但不是等差数列

C．既是等差数列又是等比数列

D．既不是等差数列也不是等比数列

解析 可分别求得5＋1＝25＋15＋1＋1，的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则，22222－15＋1－15＋1，＝1，＝1，由等比中项易2222＋1＋15＋1，得， 222 2

答案 B

9．数列{an}中，a1＝1且an＋1＝3an＋2，则an＝________.

解析 由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)，

令an＋1＝bn则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＝2，

∴{bn}是以2为首项，以3为公比的等比数列，

∴bn＝2·3n－1，∴an＝bn－1＝2·3

－1 n－1－1.答案 2·3n－1

10．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任何m，n∈N*，都有：①f(m，n＋1)＝

f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)，给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26，其中正确的个数是________个．

解析 ∵f(1,1)＝1且f(m＋1,1)＝2f(m,1)，

∴数列{f(m,1)}构成以1为首项以2为公比的等比数列，

∴f(5,1)＝1·2＝16，∴(2)正确；

当m＝1时，条件①变为f(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，

又f(1,1)＝1，

∴数列{f(1，n)}是以1为首项，以2为公差的等差数列，

∴f(1,5)＝f(1,1)＋4×2＝9.故(1)正确．

∵f(5,1)＝16，f(5，n＋1)＝f(5，n)＋2，

∴{f(5，n)}也成等差数列．

∴f(5,6)＝16＋(6－1)·2＝26，

∴(3)正确，故有3个正确．

答案 3

11．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．

(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；

(2)求an.

解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4， 4

a3＝3a2－2×3＋3＝－15.

下面证明{an－n}是等比数列：

证明

an＋1－n＋13an－2n＋1＋3－n＋1＝ an－nan－n3an－3n＝3(n＝1,2,3，…)． an－n

又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．

(2)由(1)知an－n＝－2·3

∴an＝n－2·3n－1.

3 n－1，

12．(创新拓展)已知数列{an}的前n项之和为Sn，Sn与an满足关系Sn＝2(1)求an＋1与an的关系式，并求a1的值；

(2)证明：数列是等比数列，并求{an}的通项公式； nann＋2n(n∈N*)． n

(3)是否存在常数p使数列{an＋1－pan}为等比数列？若存在，请求出常数p的值；若不存在，请说明理由．

(1)解 ∵Sn＋2n＝2－nan①

∴Sn＋1＝2－n＋3n＋1an＋1②

②－①得an＋2n＋1＝nan＋3

n－n＋1an＋1，

即2n＋2

n＋1n＋2n＋1＝nn，

即2

n＋1a11＋21n＋1＝nn.而a1＝2－1a1，∴a12.

(2)证明 由(1)知an＋1a

n＋1nn12，而a11＝12

∴an

n是以1122

∴an11n－11n

n22＝2，∴an

n2n.

(3)解 ∵a＋1pn1－2pn＋1

n＋1－pann

2n＋12n＝2n＋1由等比数列的通项公式知若{an＋1－pan}是等比数列， 则1－2p＝0，∴p＝12.

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