等比数列前 项和(第一课时)
一、课标要求: 知识与技能:(1)通过教学使学生掌握等比数列前 项和公式的推导过程.(2)通过教学解决等比数列的a1,q,n,
an,Sn 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.
过程与方法:通过公式的推导过程,培养学生猜想、分析、综合能力,提高学生的数学素质.
情感态度价值观:通过教学进一步渗透从特殊到一般,再从一般到特殊的辩证观点,培养学生严谨的学习态度.在学习过程中,使学生获得发现的成就感,培养学生学习数学的兴趣。
二、教学重点,难点: 重点:等比数列的前n项和公式的推导及运用
难点:等比数列的前n项和公式的推导.关键通过具体的例子发现一般规律
三、教学思路:
本课时要使学生熟悉等比数列前n项和的公式并知道求和公式的推导的方法:错位相减法。
与生活中的实例引入课题,用比较简单的数据引导学生发现并总结出等比数列的求和公式,并观察公式使用的条件:变量a1,,n,
qan,Sn中知道3个就可以求出其余2个变量。
四、教学过程: Ⅰ、课题的引入
引例:某企业拟给学校一批捐款,假如有以下两种方案:
方案1.第一次捐100万元,第二次捐200万元,第三次捐300万元„„全部捐款分64次到位;
方案2.第一次捐1元,第二次捐2元,第三次捐4元„„依此每一次的金额是前一次的两倍,全部捐款分64次到位。
试问:采纳哪一种方案,学校得到的捐款较多? (问题导出等比数列前n项求和的计算) 学生建立数学模型:
方案1:求首项为a1=100 ,公差d=100的等差数列的前64项和; 计算 Snna1n(n1)d 2方案2:求首项为a1=1,公比q=2的等比数列的前64项和。 那么怎样计算方案2的Sn呢?
设计意图:通过案例的引入,创设教学情境,在情境的暗示作用下,学生自觉不自觉地参与了情境中的角色,这样他们的学习积极性和思维活动就会极大的调动起来。 Ⅱ、新课讲解:
1、数列前n项和的定义:
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一般地,对于等比数列 a1,a2,a3,a4,an,, 它的前 项和是 Sna1a2a3an
(通过简单数列的分析使学生自己发现总结等比数列求和公式) 观察下列2个数列的特征:数列1: 1 2 4 8 16 32
数列2: 2 4 8 16 32 64 学生思考后:数列1,数列2都是公比为2的等比数列;
数列2中的每一项都是数列1中对应项的2倍; 数列2中第n项和数列1中的n+1项相等;
问题:数列1的和为S1,数列2的和为S2,那么S2与S1的关系,S2S1=?, 学生回答:S2=2S1(q=2); S2S1=64-1=63 思考过程分析:S2S1=2+4+8+16+32+64-1-2-4-8-16-32 S1 =(64-1)+(2-2)+(4-4)+(8-8)+(16-16)+(32-32) =63 这里我们可以知道S1的求和除了数列的每项相加之外,还可以利用一个新的数列的和S2(S2=qS1),通过做差的方式得到数列1的和。
设计意图:用比较简单的数据引导学生发现并总结出等比数列的求和公式。
2、公式的推导: 方法一:
对于一般的等比数列,其前 项和 构造新的数列的前n项和:①—②我们可以得到:
①
②
③
(提出问题通过③能否直接推出)
当 时,可知:
当 时,由③得 .综上所述:等比数列的前n项和为
用心 爱心 专心 2
我们把这种数列求和的方法叫做“错位相减法” 公式简单的变化:方法二:
有等比数列的定义,
时,
a1(1qn)a1qan=
1q1qaa2a3nq a1a2an1a2a3anSna1q 根据等比的性质,有a1a2an1Snan即 Sna1q(1q)Sna1anq(结论同上)
Snan围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式.
3、应用举例:
学习了等你数列前n项和的公式,我们回头来看看开始引用的例题: 方案2:求首项为a1=1,公比q=2的等比数列的前64项和。
a1a1qn11264计算:Sn
1q12通过对比方案1我们就可以知道选取方案2学校得到的捐款更多。
(以一个例题来熟悉等比数列前n和的公式) 板书: 例题1:求下列等比数列前8项的和,
⑴、111,,,; 2481,q0; 243⑵、a127,a9解答(略)
例题2:(课本64页例2) 设计意图: (1)加强学生对公式的认识和记忆,突出教学重点;(2)帮助学生明确解题步骤,规范解题格式,提高运算能力; (3)重视课本例题,适当对题目进行引申,使学生对公式的应用达到举一反三的教学效果。
4、公式中的变量: 等比通项公式中ana1qn1变量为a1,q,n,an,
他们四个中知道了3个就可以求出其另外一个,
而前n项和中的变量是a1,q,n,an,Sn,这五个变量中最少知道几个就可以求出其余的?
假如:已知等比数列中的Sn,an,q 能不能求a1,n呢(学生讨论)
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已知等比数列中的a1,n,Sn 能不能求q,an呢(学生讨论) 总结学生的结论:5个变量中只需要知道其中任意的3个就可以知道其余的2个
Ⅲ、课堂练习: 课本66页练习1
Ⅳ、课堂小结:
1、等比数列前n项和公式
2、等比数列求和的方法:错位相减法
设计意图:使学生巩固所学知识,培养学生的归纳和概括能力。 V、作业:
课本69页A组第
1、
2、
3、
5、题
B组第1题
选作题:等比数列前n项和公式有无其他推导方法
设计意图:针对学生素质的差异进行分层训练,达到巩固教学效果的目的。
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