先利用单位圆(向量)推到两角和与差的余弦公式,再利用诱导公式推导正弦公式,最后利用同角三角函数的基本关系推到正切公式。
如:sin(a+b)=cos[(pi/2-a)-b]=cos(pi/2-a)cosb+sin(pi/2-a)sinb=sinacosb+cosasinb
取直角坐标系,作单位圆
取一点A,连接OA,与X轴的夹角为A
取一点B,连接OB,与X轴的夹角为B
OA与OB的夹角即为A-B
A(cosA,sinA),B(cosB,sinB)
OA=(cosA,sinA) ...
在直角坐标系xoy中,作单位圆O,并作角α,β,-β,使角α的始边为Ox交⊙O于P1,终边交⊙O于P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4.依三角函数的定义,得P
1、P
2、P
3、P4的坐标分别为P1(1,0),P2(cosα,sinα)、P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3,P2P4.
则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式,得
∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2,
∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2
∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2
展开整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α,β均成立
在公式Cα+β中,用-β替代β.
cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α,β均成立.