数
1.公式法:
等差数列求和公式:Sn
n(a1an)n(n-1)na1d 2
2Snna1(q1)
等比数列求和公式:a1(1-qn)(a1-anq)Sn(q1)1q1q
等差数列通项公式:ana1(n1)d
等比数列通项公式:ana1qn
12.错位相减法
适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 和等差等比数列相乘{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.Sna1b1a2b2a3b3...anbn
例题:
已知ana1(n1)d,bna1qn1,cnanbn,
求{cn}的前n项和Sn
3.倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1an)
例题:已知等差数列{an},求该数列前n项和Sn
4.分组法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
5.裂项法
适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即然后累加时抵消中间的许多项。
常用公式:
111n(n1)nn1
1111(2)()(2n1)(2n1)22n12n1 11(3)(a)aba(1)
例题:求数列an1的前n项和S
n n(n1)
小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意: 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值时命题成立;
(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
例题:求证: 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = n(n1)(n2)(n3)(n4)5
7.通项化归
先将通项公式进行化简,再进行求和。
8.(备用) a3b3(ab)(a2abb2)
ab(ab)(aabb)3322