高中《数列》专题复习题

发布时间：2020-03-03 00:18:32 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

《数列》专题复习题

1．等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=（）

(A)9(B)10(C)11(D)1

22．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S22,S410,则S6等于（）

（A）12（B）18（C）24（D）42

3．已知数列的通项an5n2，则其前n项和Sn．

4．数列{an}的前n项和为Sn，若an

56161，则S5等于（） n(n1)1 30A．1B．C．D．

5．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x28x30的两根，则 a2006a2007__________.6．设等差数列an的公差d不为0，a19d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k（）

Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8

7.在数列an中，a12，an14an3n1，nN*．（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

8.已知实数列{an}是等比数列,其中a71,且a4,a51,a6成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)数列{an}的前n项和记为Sn,证明: Sn＜128(n1,2,3,…).

9．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列．

（1）求数列{an}的等差数列．

（2）令bnlna3n1，n1，求数列{bn}的前n项和T． 2，，

10．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，

a5b31

3（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列an

的前n项和Sbn．

n

11．数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)．（Ⅰ）求数列an的通项an；（Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．答案：

B，C，n(5n1)2

，B，-18，B

7.（Ⅰ）证明：由题设an14an3n1，得

an1(n1)4(ann)，nN*．

又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a1nn4n，于是数列an的通项公式为

an

1n．所以数列a项和S4n1n

4n的前nn3n(n1)

．（Ⅲ）证明：对任意的nN*，

S4n11(n1)(n2)

4n1n(n1)n14Sn32432 1

(3n2n4)≤0．

所以不等式Sn1≤4Sn，对任意nN*皆成立． 8.解：（Ⅰ）设等比数列an的公比为q(qR)，

由a647a1q1，得a1q6，从而a4a1q3q3，a5a1qq2，a56a1qq1．因为a4，a51，a6成等差数列，所以a4a62(a51)，即q3q12(q21)，q1(q21)2(q21)．

1

所以q1．故aa16qn1641n2n1qnq2

．

1n641

（Ⅱ）San1(1q)1q21nn128112

128．

2aa9．

解：（1）由已知得12a37，

:(a13)(a34)

解得a22． 2

3a2.设数列{a}的公比为q，由a，可得a2

n221q

，a32q．

又S37，可知222q7，即2q25q20，解得q1q12，q22

．

由题意得q1，

q2．a11．故数列{an}的通项为an2n1．（2）由于bnlna3n1，n1，2，，

由（1）得a3n123nbnnln233nln2又bn1bn3ln2n{bn}是等差数列．Tnb1b2bn



n(b1bn)



n(3ln23ln2)

2 3n(n1)2ln2.

故T3n(n1)

n

ln2．

412dq21，

10．解：（Ⅰ）设an的公差为d，则依题意有q0且 bn的公比为q，2

14dq13，

解得d2，q2．所以a1n1(n1)d2n1，bnqn2n1．（Ⅱ）

anb2n1

n1． nS352n1

2122n32n22n12

n1，① 2S2352n322n1

n2n32

n2，②

②－①得S22222n21

n2222n22

n1，

22121121

n122n22n1

1

22n12n12n3112n162n1． 2

11．解：（Ⅰ）aSn1

n12Sn，Sn1Sn2Sn，S3． n

又S1a11，

数列Sn是首项为1，公比为3的等比数列，Sn1n3(nN*)．

当n≥2时，an2Sn123n2(n≥2)，

a1，n1，

n

3n2

，n≥2．（Ⅱ）Tna12a23a3nan，当n1时，T11；

当n≥2时，Tn14306312n3n2，…………①

3T1n34316322n3n，………………………②

①②得：2Tn242(31323n2)2n3n1

23(13n22)

2n3n113

1(12n)3n1．

T12n

n1

2

3n1(n≥2)．又T1a11也满足上式，

T1n1

n

2

3n1(nN*2)．

数列单元复习题

（一）答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．C2．A3．D4．B5．C6．C7．A8．B9．B10．B

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

11．－9

112．－113．－11014．515．616．9

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.(1)求通项an；(2)求此数列前30项的绝对值的和.考查等差数列的通项及求和.

【解】（1）a17＝a1＋16d，即－12＝－60＋16d，∴d＝3 ∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.

(2)由an≤0，则3n－63≤0n≤21，

∴|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋(a22＋a23＋…＋a30)

＝(3＋6＋9＋…＋60）＋（3＋6＋…＋27（3＋60）（3＋27）

2×20＋2 ×9＝765.

18．（本小题满分14分）在等差数列{an}中，若a1＝25且S9＝S17，求数列前多少项和最大.

考查等差数列的前n项和公式的应用.

【解】 ∵S＋9×（9－1）17×（17－1）

9＝S17，a1＝25，∴9×252 d＝17×25＋2d

解得d＝－2，∴S25n＋n（n－1）

2(－2)＝－(n－13)2

n＝＋169.

由二次函数性质，故前13项和最大.

注：本题还有多种解法.这里仅再列一种.由d＝－2，数列an为递减数列.an＝25＋(n－1)(－2)≥0，即n≤13.5 ∴数列前13项和最大.19．（本小题满分14分）数列通项公式为an＝n2－5n＋4，问

（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.考查数列通项及二次函数性质.

【解】（1）由an为负数，得n2－5n＋4

∵n∈N*，故n＝2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项.

（2）∵a＝(n－59

5n＝n2－5n＋42)2－4 ，∴对称轴为n＝2

＝2.5

又∵n∈N*，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，最小值为22－5×2＋4＝－2.20．（本小题满分15分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？考查等差数列求和及分析解决问题的能力.

【解】（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋n（n－1）

2＋5n＝70

整理得：n2＋13n－140＝0，解得：n＝7，n＝－20(舍去） ∴第1次相遇在开始运动后7分钟.

（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n＋n（n－1）

2 ＋5n＝3×70

整理得：n2

＋13n－6×70＝0，解得：n＝15或n＝－28(舍去）第2次相遇在开始运动后15分钟.

21．（本小题满分15分）已知数列{a的前n项和为S1

n}n，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝2 .证：{1

S}是等差数列；（2）求an表达式；

（3）若bn＝2(1－n)an(n≥2)，求证：b22＋b32＋…＋bn2

【解】（1）∵－an＝2SnSn－1，∴－Sn＋Sn－1＝2SnSn－1(n≥2) S1111