求递推数列的通项公式的九种方法
利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法
例1在数列{a
1n}中,a13,an1an
n(n1)
,求通项公式an.解:原递推式可化为:a111111
n1annn1则a2a112,a3a22
3a111111
4a334,……,
anan1n1n逐项相加得:ana11n.故an4n
.
二、作商求和法
例2设数列{a
22n}是首项为1的正项数列,且(n1)an1nanan1an0(n=1,2,3…),则它的通项公式是an=▁▁▁(2000年高考15题)
解:原递推式可化为:
[(n1)aan1n
n1nan](an1an)=0∵ an1an>0,
a
n
1n则
a21a32a43an1aa,,,……,n
逐项相乘得:n1
,即a1n=.12a23a34an1na1n
n
三、换元法
例3已知数列{a4n},其中a1
3,a1
3129,且当n≥3时,anan13
(an1an2),求通项公式an(1986年高考文科第八题改编).解:设bn1anan1,原递推式可化为:b1n3b,{b是一个等比数列,b134111
n2n}1a2a1939,公比为3.故bn1
b(1)n219(13)n2(13)n.故aa1311
1nn1(3)n.由逐差法可得:an22(3
)n3.
例4已知数列{an},其中a11,a22,且当n≥3时,an2an1an21,求通项公式an。解 由an2an1an21得:(anan1)(an1an2)1,令bn1anan1,则上式为bn1bn21,因此{bn}是一个等差数列,b1a2a11,公差为1.故bnn.。
由于b1b2bn1a2a1a3a2anan1an1
又bn(n1)
1b2bn1
2所以a1n1
2n(n1),即a1
n2
(n2n2)
四、积差相消法
例5(1993年全国数学联赛题一试第五题)设正数列a0,a1,an…,an,…满足
anan2an1an2=2an1(n2)且a0a11,求{an}的通项公式.解将递推式两边同除以aann1an2整理得:
2a
n1aa1 n1n
2设ban
a
1n=
a,则b1na=1,bn2bn11,故有 10
b22b11⑴b32b21⑵
…………
bn2bn11(n1)
由⑴2
n2
+ ⑵2
n
3+…+(n1)20得b222n1=2n
n121,即
ana=2n
1.n1
逐项相乘得:an=(21)2(221)2(2n1)2,考虑到a01, 故 a
n
1(21)(21)
(n0).(21)222n2
(n1)
五、取倒数法
例6已知数列{aan
1n}中,其中a11,,且当n≥2时,an
2a,求通项公式an。
n11
解将aan1n
2a两边取倒数得:1n11
a12,这说明{1
}是一个等差数列,首项
nan1an是
a1,公差为2,所以11(n1)22n1,即a1n.1
an2n1
六、取对数法
例7若数列{aa
2n}中,1=3且an1an(n是正整数),则它的通项公式是an=▁▁▁(2002
年上海高考题).解由题意知an>0,将an1a2
2lgalgan
1n两边取对数得lgan1
n,即
lga2,所以数n
列{lgalga1n1
n}是以lga1=lg3为首项,公比为2的等比数列,lgan12nlg32
,即
a2n1
n3.
七、平方(开方)法
例8若数列{an}中,a1=2且an3a
2n1(n2)
,求它的通项公式是an.解将an
a22a22
2n1两边平方整理得ann13。数列{an}是以a1=4为首项,3为公
差的等差数列。a2
na21(n1)33n1。因为an>0,所以ann1。
八、待定系数法
待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列,可以少走弯路.其变换的基本形式如下:
1、an1AanB(A、B为常数)型,可化为an1=A(an)的形式.例9若数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项之和,且SSn
n134S(n1),
n
求数列{an}的通项公式是an.解 递推式SSnn1
34S可变形为1n
S3
14(1)
n1Sn设(1)式可化为
1S3(
n1
S)(2) n
比较(1)式与(2)式的系数可得2,则有
1S23(1S2)。故数列{1
2}是
n1
nSn
以
11S23为首项,3为公比的等比数列。1
S2=33n13n。所以Snn3n
1。 当n2,anSnS132123n
n1
n3n1232n83n
1
2。 数列{a
123n(n1)n}的通项公式是an32n83n12
(n2)。
2、an
n1AanBC(A、B、C为常数,下同)型,可化为an1Cn1=A(anCn)的形式.例10在数列{an}中,a11,an12an43n1,求通项公式an。 解:原递推式可化为:
an13n2(an3n1)①
比较系数得=-4,①式即是:an143n2(an43n1).
则数列{a1n43n}是一个等比数列,其首项a143115,公比是2.∴an43n152n1 即a1n43n52n1.
3、an2Aan1Ban型,可化为an2an1(A)(an1an)的形式。 例11在数列{an}中,a11,a22,当nN,an25an16an ①求通项公式
an.解:①式可化为:
an2an1(5)(an1an)
比较系数得=-3或=-2,不妨取=-2.①式可化为:
an22an13(an12an)
则{an12an}是一个等比数列,首项a22a1=2-2(-1)=4,公比为3.∴an12a1n43n.利用上题结果有:
an43n152n1.
4、an1AanBnC型,可化为an11n2A[an1(n1)2]的形式。 例12 在数列{a
3n}中,a1
2,2anan1=6n3① 求通项公式an.解①式可化为:
2(an1n2)an11(n1)2②比较系数可
得:
=-6,29,②式为2bnbn1
1{bn} 是一个等比数列,首项b1a16n9
∴bn
91
,公比为.22
91n1
() 22
12
n
即 an6n99() 故an9()6n9.
九、猜想法
运用猜想法解题的一般步骤是:首先利用所给的递推式求出a1,a2,a3,……,然后猜想出满足递推式的一个通项公式an,最后用数学归纳法证明猜想是正确的。
例13 在各项均为正数的数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,Sn=通项公式。
12
n
11
(an+ ),求其2an