复数与推理证明练习题
1.若复数z134i,z212i,则z1z2。 2.若复数(1i)(ai)是实数,则实数a。 3.已知复数z的实部为1,虚部为2,则
i13iz
的虚部为。
4.(i是虚数单位)对应的点在第象限。
5.复数za23a2(lga)i(aR)是纯虚数,则a_________。
6.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为。7.已知cos
π1π2π1π2π3π1cos=coscos,…,根据这些结果,猜想325547778
出的一般结论是。 8.已知:f(x)=
x
1-x
f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(n>1且n∈N),则f3(x)的表达式为
*
______ ______,猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________。
9.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,
(用n表示) f(n)=。
10.设P是ABC内一点,ABC三边上的高分别为hA、hB、hC,P到三边的距离依次为la、lb、lc,则有
lahA
lbhB
lchC
1;类比到空间,设P是四面体ABCD内一点,四顶点
到对面的距离分别是hA、hB、hC、hD,P到这四个面的距离依次是la、lb、lc、ld,则有_________________。
11.在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是,,则有
coscos1,类比到空间,在长方体中,一条对角线与从某一顶点出发的三条棱
2
2所成的角分别是,,,则有。 12.在等差数列an中,若a100,则有等式a1a2an
类比上述性质,相应地:在等比数列bn中,a1a2a19n(n19,nN)成立,
若b91,则有等式 13. 把偶数按一定的规则
排成了如图所示的三角形数表.2设aij(i,j∈N)是位于这个三角形数表中46 从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如8 101
2*
a42=16,若aij=2 012,则i与j的和为14161820
。
14.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是a
的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠 部分的面积恒为
a
.类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其中一个的某顶点在另一
个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为。
15.已知扇形的圆心角为2(定值),半径为R(定值),分别按图
一、二作扇形的内接矩形,若按图一作出的矩形面积的最大值为为。
1
2Rtan,则按图二作出的矩形面积的最大值
图一
第15题图
图二
第14题
16.若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M
1、M2与点N
1、N2,则三角形面积之比为:
SOM1N1SOM2N
2OMOM
12
ONON
12
.若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ
和OR上分别有点P
1、P2与点Q
1、Q2和R
1、R2,则类似的结论为:。
17.一同学在电脑中打出如下图若干个圆(○表示空心圆,●表示实心圆)
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……
问:到120个圆中有个实心圆。
iii1i
18.求值(1) 复数
(2
)复数z
,求z
(3)若(xi)iy2i,x,yR,求复数xyi
(4)已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求z2.
19.已知abc,且abc
3 a
.
20.(1)设函数f(x)
12
x
,类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求2
得f(4)f(0)f(5)f(6)的值为。
(2)已知数列{an}满足a11,anan1()n(nN*,n≥2),令
21
Tna12a22an2,类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,可求得3Tnan2
n1
2n
=。