高中数学 3.4.1《基本不等式的证明》教案 苏教版必修5

第 11 课时：§3.4.1基本不等式的证明（2）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步掌握基本不等式；

2.学会推导并掌握均值不等式定理；

3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。

二、过程与方法



值。

三、情感、态度与价值观

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点与难点】：

重点：均值不等式定理的证明及应用。

难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1．重要不等式：如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取\"\"号)

2．基本不等式：如果a,b是正数，那么22ab，并会用此定理求某些函数的最大、最小2ababab(当且仅当ab时取\"\"号).我们称为a,b2

22的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数，ab22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者

只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。

二、研探新知

最值定理：已知x,y都是正数， ①如果积xy是定值p，那么当xy时，和xy有最小值2p；②如果和xy是定值s，那么当xy时，积xy有最大值

证明：∵x,yR，∴ 12s． 4xyxy，

2①当xyp (定值)有(xy)min2p； xy2p∴xy2p，∵上式当xy时取“”，∴当xy时

②当xys (定值)时，xys12 ∴xys，∵上式当xy时取“”∴当xy时有2

4(xy)max12s． 4

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；

②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

③函数式中各项必须都是正数;

④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 （1）求 lgxlogx10(x1)的最值，并求取最值时的x的值。

解：∵x1∴lgx0logx100，于是lgxlogx102lgxlgx102，

当且仅当lgxlogx10，即x10时，等号成立，∴lgxlogx10(x1)的最小值是2，此时x10．

（2）若上题改成0x1，结果将如何？

解：∵0x1lgx0logx100，于是(lgx)(logx10)2，

从而lgxlogx102，∴lgxlogx10(0x1)的最大值是2，此时x

例2 （1）求yx(4x)(0x4)的最大值，并求取时的x的值。

（2）求yx4x2(0x2)的最大值，并求取最大值时x的值

解：∵0x4，∴x0,4x

0，∴1． 10x4x2则yx(4x)4，当且仅当

2x4x，即x2(0,4)时取等号。∴当x2时，yx(4x)(0x4)取得最大值4。

例3 若x2y1，求11的最小值。 xy

11x2yx2y2yx2yx

123()3xyxyxyxy解：∵x2y1，∴

x12yxy，即当且仅当x

yx2y1

2

∴当x1,y11时，

取最小值3xy2例4 求下列函数的值域:（1）y3x11yx；（2） 2x2x

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.四、巩固深化，反馈矫正

1．已知0x1,0y1,xy1，求log1xlog1y的最大值，并求相应的x,y值。 93

32．已知x0，求23x的最大值，并求相应的x值。

3．已知0x

2，求函数f(x)x值。

4．已知x0,y0,x3y1,求的最小值，并求相应的x,y值。

五、归纳整理，整体认识

1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；

2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：

（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；

（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。

六、承上启下，留下悬念4x1x1y

七、板书设计（略）

八、课后记：

高中数学 《基本不等式的证明》教案3 苏教版必修5

3.4.1 基本不等式的证明

3.4.1 基本不等式的证明

高中数学 《一元二次不等式》教案2 苏教版必修5

6.示范教案(3.4.1 基本不等式 的证明)

3.4.1 基本不等式的证明教学设计

3.4.1 基本不等式的证明教学点评

高中数学 等差数列教案 苏教版必修5

高中数学 3.2《一元二次不等式(3)》教案 苏教版必修5

6.备课资料(3.4.1 基本不等式 的证明)

《高中数学 3.4.1《基本不等式的证明》教案 苏教版必修5.doc》

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