猜想证明题
1例1．如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边
BC、CA、AB上，且DEF也是等边三角形．
E（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证
明你的猜想是正确的； F（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写
出变化过程． DCB
分析：本题要求学生在掌握全等三角形的概念和性质的基础上，
灵活运用三角形全等的判定及性质进行结论猜想。求解这类问题，不能随意乱猜，要结合题目给出的条件，根据图形直观的找出结论后再进行合理的推理论证。
解：（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE，
事实上，∵△ABC与△DEF都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD，
又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°
∴∠AEF=∠CDE，同理，得∠CDE=∠BFD，
∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），所以AE=BF=CD，AF=BD=CE。
（2）线段AE、BF、CD它们绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到，线段AF、BD、CE它们绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°,可互相得到。
说明：
1.本题考查的是在三角形全等的判定及应用及旋转变换，它立意考查学生的观察、分析问题的能力.2.因为几何直观是一种思维形式，它是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态．它不仅拓展了学生的思维空间，考查了学生的能力，更因为几何直观具有发现的功能．这种思维既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点，所以成为近几年中考试题的考点及热点问题。
练习一
1.（北京丰台）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD
延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF。请你以F
为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线 段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证
明一组线段相等即可）。（1）连结____________；（2）猜想：______=______；（3）证明：
2．（河北）如图10－1－2（1），10－1－2（2），四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
⑴如图10－1－2（1），当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是； ②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；
③请证明你的上述两猜想。
⑵如图10－1－2（2），当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。
3．（河南）空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，ABG是等边三角形，C、D是
CG、DG分别交AB于点E、F，以AB为直径的半圆O的两个三等分点，试判断点E、
F分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证明一种情况即可）
D到B、C、4．（潍坊）如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、
直线l的距离分别为a、b、c、d．
（1）观察图形，猜想得a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论．
(2)现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．
5.（锦州）如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；
(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；
(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现
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