几何证明题及其答案1

例1：如图2-4-27，四边形ABCD是正方形，△ECF是等 腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点． （1）求证：△BCF≌△DCE．

（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=900，求DG：GC的值．

A

B

例2：已知如图2-4-28，BE是⊙O的走私过圆上一点作⊙O的切线交EB的延长线于P．过E点作ED∥AP交⊙O于D，连结DB并延长交PA于C，连结AB、AD．

（1）求证：ABPBBD．

（2）若PA=10，PB=5，求AB和CD的长．

例3：如图2-4-29，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，圆心O1在

2E

图2-4-27

E

P

图2-4-28

图2-4-28

⊙O2上，连心线O1O2与⊙O1交于点C、D，与⊙O2交于点E，与AB交于点H，连结AE．

（1）求证：AE为⊙O1的切线．

（2）若⊙O1的半径r=1，⊙O2的半径R

3，求公共弦AB的长．

2（3）取HB的中点F，连结O1F，并延长与⊙O2相交于点G，连结EG，求EG的长

．

例4如图2-4-30，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H,BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线交于点D．（1）求证：DA=DC

（2）当DF：EF=1：8且

ABAC的值．

（3）将图2-4-30中的EF所在的直线往上平移到⊙O外，如图2-4-31，使EF与OB的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF于点D．试猜想DA=DC是否仍然成立，并证明你的结论．

图2-4-30

图2-4-30

【提高训练】

1．如图2-4-32，已知在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连结DE并延长与AC的延长线相交于点F．若DE=EF，求证：BD=CF．

B E

F

图2-4-

322．点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，如果DEFG能构成四边形．（1）如图2-4-33，当O点在△ABC内时，求证四边形DEFG是平行四边形．（2）当点O移动到△ABC外时，（1）中的结论是否成立？画出图形，并说明理由．（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由．

A

D

FBC

图2-4-3

33．如图2-4-35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=450．翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8，求：（1）BE的长．（2）∠CDE的正切值．

CB

E

图2-4-3

400

4．如图2-4-35，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=2，∠ABC=120，∠ACB=45，连结OB交AC于点E．（1）求AC的长．（2）求CE：AE的值．（3）在CB的延长上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并加以证明你的结论．

图2-4-3

55．如图2-4-36，已知AB是⊙O的直径，BC、CD分别是⊙O的切线，切点分别为B、D，E是BA和CD的延长线的交点．（1）猜想AD与OC的位置关系，并另以证明．（2）设ADOC的值为S，⊙O的半径为r，试探究S与r的关系．（3）当r=2，sinE长．

时，求AD和OC的

3图2-4-36

答案

例1.分析与解答 （1）∵四边形 ABCD是正方形，

∴∠BCF+∠FCD=90，BC=CD．

∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE．

∴∠ECD+∠FCD=90．∴∠BCF=∠ECD．∴△BCF≌△DCE

（2）在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90． ∴

4．

∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90． ∴DE∥FC．∴△DGE∽△CGF．∴DG：GC=DE：CF=4：3．

例2.分析与解答 （1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠1=∠2． ∵ED∥AP，∴∠P=∠PED．

BD． 而∠3=∠BED，∴∠3=∠P．∴△ABD∽△PBA．∴ABPB

（2）连结OA、AE．由切割线定理得，PAPBBD．即1025(5BE)， ∴BE=15．又∴△PAE∽△PBA，∴

AEPA

2，即AE=2AB． ABPB

在Rt△EBA中，152AB2(2AB)2，

∴ABAB、PB代入ABPBBD，得BD=9． 又∵∠BDE=90，ED∥AP， ∴DC⊥PA．∴BC∥OA．∴∴BC

BCPB

． OAPO

515

3．∴CD=12 25

例3.分析与解答（1）连结AO1．∵O1E为⊙O2的直径，∴∠O1AE=90． 又∵O1A为⊙O1的半径，∴AE为⊙O1的切线．

（2）∵O1A=r=1，O1E=2R=3，△AO1E为Rt△，AB⊥O1E， ∴△AO1E∽△HO1A．∴O1AO1HO1E． ∴O1H

1． ．AB2AH

3（3）∵F为HB的中点，∴

HF=HF

1AB，

4∴O1F

．

∵HO1FGO1E． ∴Rt△O1HF∽Rt△OGE．∴1

O1FHF

． 

O1EEG

HF

O1E

 ∴EG，即EGO1F例4.分析与解答（1）连结OC，则OC⊥DC，∴∠DCA=90-∠ACO=90-∠B．

又∠DAC=∠BAE=90-∠B，∴∠DAC=∠DCA．∴DA=DC．

（2）∵DF：EF=1：8

，DF

EF=8DF= 又DC为⊙O

的切线，∴DC2DFDE18．

∴DC

∴ADDC

AFADDF

AEEFAF

∴ABACAEAF24．

（3）结论DA=DC仍然成立．理由如下：如图2-4-31，

延长BO交⊙O于K，连结CK，则∠KCB=90．

又DC是⊙O的切线，∴∠DCA=∠CKB=90-∠CBK．

00

又∠CBK=∠HBA，∴∠BAH=90-∠HBA=90-∠CBK． ∴∠DCA=∠BAH．∴DA=DC． 提高部分：【答案】1．过D作DG∥AC交BC于G，证明△DGE≌△FCE2．（1）证明DG∥EF即可

（2）结论仍然成立，证明略

（3）O点应在过A点且垂直于BC的直线上（A点除外），说理略．33．（1）BE=5 （2）tanCDE

4．（1

）AC（2）CE:AE

，PB=2BC，∴CE：AE=CB：PB． 2

（3）∵CE:AE

∴BE∥AP．∴AO⊥AP．∴PA为⊙O的切线

5．（1）AD∥OC，证明略

（2）连结BD，在△ABD和△OCB中，∵AB是直径，∴∠ADB=∠OBC=90． 又∵∠OCB=∠BAD，∴Rt△ABD∽Rt△OCB．

∴

ADAB

．SADOCABOB2rr2r2， 

OBOC

，OC∴S2r2（3

）AD

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