九年级数学练习题
１.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG
求证：S△ABCS△
AEG
２.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG。若O为EG的中点 求证:EG=2AO
３.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，OA的延长线交BC于点H
求证：OH⊥
BC
４.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若AH⊥BC，HA的延长线交EG于点O
求证：O为EG的中点
5.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接CE，BG、GE
M、N、P、Q分别是EG、GB、BC、CE的中点
求证：四边形MNPQ是正方形
答案： 1.作CM⊥AB于点M
，EN⊥GA，交GA的一次性于点N
∵∠MAN=∠CAE=90°
∴∠CAM=∠EAN
∵∠ANE=∠CMA=90°，AC=AE
∴△ACM≌△AEN
∴CM=EN
∵S△ABC=1/2*AB *CM，S△AGE=1/2*AG*EN
又∵AG=AB，CM=EN
∴S△ABC=S△AEG
2.证明：
延长AO到点M，使OM=OA，连接MG、ME
则四边形AEMG是平行四边形
∴GM=AE=AC，MG‖AE
∴∠MGA+∠GAE=180°
∵∠BAG+∠CAE=180°
∴∠BAC+∠GAE=180°
∴∠BAC=∠AGM
∵AC=AB
∴△AGM≌△BAC
∴BC=AM=2AO
3.OA与OH共线，所以向量AO与向量BC的数量积为0即可证出AH⊥BC
我用AB表示向量AB，即此时字母AB都有方向性，下边的都是如此，
2AO=AG+GE
过A作直线BC的平行线交FG于M，交DE于N，
2AO*BC
=(AG+AE)*BC
=AG*BC+AE*BC
=-|AG||BC|cos∠GAM+|AE||BC|cos∠EAN
=|BC|*(-|AB|*sin∠MAB+|AC|*sin∠NAC)
=|BC|*(-|AB|sin∠ABC+|AC|sin∠ACB)
设BC上的高长为h,
上式=|BC|(-h+h)=0
所以AO与BC垂直，即AH⊥BC
5.连结BE、CG，
∵PQ是△BEC的中位线，
∴PQ//BE，且PQ=BE/2，
同理MN//BC，MN=BE/2，
∴MN=PQ，且MN//PQ，
∴四边形PQMN是平行四边形，
同理MQ=PN=CG/2，
在△BAE和△GAC中，
BA=GA，
AC=AE，
∵〈BAG=〈CAE=90°，
〈BAG+〈BAC=〈CAE+〈BAC，
∴〈BAE=〈GAC，
∴△BAE≌△GAC，（SAS），
∴BE=CG，
∴BE/2=CG/2，
∴PQ=MQ，
∴四边形PQMN是菱形，
设CG和BE相交于O
〈AEB=〈ACG，（全等三角形对应角相等），
则A、O、C、E四点共圆，（共用AO底，同侧顶角相等的二三角形四点共圆） 〈EOC=〈EAC=90°，
∴BE⊥CG，
∴PQ⊥MQ，
∴四边形PQMN是正方形。
