数学分析复习题

数学分析（2）复习题2010-06

第八章 不定积分

1.利用换元法求下列不定积分 (1)

1sinx

dx

;

(2)



; (3)



x

(ab).2.利用分部积分法求下列不定积分

(1)



ln(x

dx; (2)

arcsin1xx; (3) 

4xe

arctanx

3dx.

(1x)

223.求不定积分 I

1x

dx

2

x

,J

1x

x

2

2

x

4dx.

第九章 定积分 1．求极限lim

1n

n

[1cos

xn

cos

2xn

cos

(n1)x

n

]（xR）

参考：P207习题2

2．用可积准则证明：若f(x)为[a,b]上的连续函数，则f在[a,b]上可积

参考：P209-P211可积类的证明

3.证明Riemann函数(见P211)是可积的。 参考：P211例3 4．设f为[a,b]上的非负连续函数，证明：如果f(x)dx0，则

ab

参考：P217例2 f(x)0,x[a,b]。

5.求极限lim



sin0

2

x

ln(1t)dt

4

x0

.



1参考：P229习题1和

3x

6.设f是连续函数。证明



0

xf(sinx)dx



2



0

f(sinx)dx

并利用这一结果计算定积I



0

xsinx

2

1cos

x

dx.参考：P230习题7，

2

4

7.设f(x)在[0,a]上可导，且nnexaf(x)dxf(a)(

1n

a)

证明：(0,a)使f()f()0 8.若f在[a,b]上连续增，

x1

f(t)dt,x(a,b]

F(x)xaa

f(a),xa

证明F为[a,b]上的增函数.参考：P237习题2

第十章 定积分的应用

9．求心形线ra(1cos)的全长及它所围图形的面积． 10．求椭球面

xa

22

xa

22

yb

22

yb

22



zc

22

1所围的椭球体的体积．参见：P244例2

11．求椭圆1绕y轴旋转所得的旋转曲面的表面积．参见：P254例1

12． 一根长为l的均匀细杆，质量为M，在其中垂线上相距细杆为a处有一质量

为m的质点．试求细杆对质点的万有引力．参见：P256例2

第十一章 反常积分

13.讨论瑕积分

10

dxx(lnx)

p

是否收敛？ 参见：P269习题2（8） x

1

14．讨论反常积分()15．讨论反常积分





0

1x

dx的收敛性．参见：P278例2

e

x

lnxdx的收敛性．参见：P279习题3（8）

16.计算瑕积分lnxdx（其中n为正整数）的值．参见：P279习题4（1）

n

17.设I1



0

11x

dx，I2



0

x

24

1x

dx，

（1）证明I1收敛；

（2）证明I1I2，并求I1的值（提示：I1答案：

12

(I1I2)）.

22

第十二章 至 第十五章级数

18.判别下面正项级的收敛性



（1）

n1

3sin(n1)

2n

n

3

nln(1

1n

)



；（2）

n2

n2n

；（3）

n3

n(lnn)(lnlnn)

；



19.级数(1)n

n2

1ln

10

n

是条件收敛，还是绝对收敛。



20．设正项数列an单调减少，且级数(1)an发散，证明

n

n1



1(1an)

n

收敛。

n1

21．讨论级数1

12





13



14





1

5

16



（R）的收敛性。

答案：分情况讨论，只有当1时收敛



n



3n



22．若级数a收敛，证明a和

n1



n1

n1

ann

p

(p

12

)都绝对收敛。

23．若级数an与bn都收敛且有ancnbn

n1

n1

(n1,2,)，

证明cn收敛。参见：P25习题2

n1



24.求级数

n1

1n(n1)

x的收敛域及其和函数。

n



25．求级数

n0

(1)

n

2n1

x

x

2n1

的收敛域及其和函数。

26．把函数

1x2x

展开为关于x的幂级数并指出收敛域。

27．将函数f(x)arctan28．把函数

x0

x11x

展开为x幂级数并指出收敛域。

sintt

dt展开为关于x的幂级数并指出收敛域。

12

0,1x

x129．把函数f(x)1,122

0,1x1

2

展开为Fourier级数并指出收敛性。

30．把函数f(x)x(0x)展开为余弦级数并指出收敛性，再利用该级数

证明

11



13



15





8。

第十六章 至 第十七章多元微分学

31．证明：当且仅当存在各点互不相同的点列PnE，PnP0，limPnP0时，

n

P0是E的聚点。参见P92习题3

32．讨论二元函数

f(x,y)

xyxy

xy

在点(0,0)的二重极限及两个二次极限。参见P98例7 33．讨论二元函数

1,0yx2

f(x,y)

0,其它

在点(0,0)的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数。（注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由。）参见P95例4等

22

xy

,22f(x,y)34．证明: (xy)

0,

xy0xy0

22

在点(0,0) 处连续且偏导数存在， 但不可微 。

22

(xy)sin

35．证明函数f(x,y)

0,

1xy

,xyxy

22

00

在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在(0,0)不连续，而f在(0,0)可微． 参见：P117习题7 36．设uf(

xyuuu

． ,)，其中f为可微函数，求,,

yzxyz

参见：P123习题1

37．设uu(x,y)可微，在极坐标变换xrcos,yrsin下，求

uu



xy



的表达式。参见：P120例2 

38．设函数zf(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)1,

ddx

fx

(1,1)

2,

fy

(1,1)

3,

(x)f(x,f(x,x))，求(x)

x1

．

39.求旋转抛物面zx2y21在点P(2,1,4)处的切平面及法线方程。



P(1,1,1)40．设f(x,y,z)xyz，求f在点0的梯度及沿方向l:(2,2,1)

的方向导数．

数学分析

数学分析

数学分析学习心得

数学分析教案

数学分析 证明题

数学分析学习心得

《数学分析》教案

数学分析教学大纲

数学分析教学大纲..

数学分析报告

《数学分析复习题.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便编辑。

推荐度：

点击下载文档