数学分析 教案

第九章

空间解析几何

教学目标：

1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式. 2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念. 3．理解向量的加法、数乘、点积与叉积的概念. 4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、点积与叉积的运算. 5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程. 6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形. 7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影. 8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.教学重点：向量的概念，向量的加法、数乘、点积与叉积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、点积与叉积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.教学难点：向量的概念，向量的点积与叉积的概念与计算，利用向量的点积与叉积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：14学时 教学手段：板书

学法建议：解析几何的实质是建立点与实数有序数组之间的关系，把代数方程与曲线、曲面对应起来，从而能用代数方法研究几何图形建议在本章的学习中，应注意对空间图形想象能力的培养，有些空间图形是比较难以想像和描绘的，这是学习本章的一个难点.为了今后学习多元函数重积分的需要，同学们应自觉培养这方面的能力.

参考资料： 使用教材：《高等数学》（第三版），高职高专十一五规划教材，高等教育出版社，2011年5月，侯**主编.参考教材： 1.《高等数学》，21世纪高职高专精品教材，北京理工大学出版社，2005年5月，宋立温等主编.2.《高等数学》，教育部高职高专规划教材，高等教育出版社，2006年4月，盛祥耀主编.3.《高等数学》，第五版.同济大学数学教研室编，高等教育出版社.4.《高等数学应用205例》，李心灿编，1986年，高等教育出版社.5.《高等数学》，宋立温等主编，21世纪高职高专精品教材，北京理工大学出版社，2005年5月.

第一节 空间直角坐标系与向量的概念

教学目标：

1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式. 2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念. 3．理解向量的加法、数乘、点积与叉积的概念. 4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘的运算.教学重点：向量的概念，向量的加法、数乘的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘的运算.教学难点：向量的概念.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：2学时 教学手段：板书

一、引入新课（3分钟）

(提问)举几个既有大小又有方向的量.(温故知新,进行一些必要知识铺垫。)

二、讲授新课（72分钟）

（一） 空间直角坐标系（17分钟）

在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O，这三条数轴分别称为x轴、y轴和z轴，一般是把x轴和y轴放置在水平面上，z轴垂直于水平面.z轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转090指向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz.在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，简称坐标面.x轴与yz轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分别称为x坐标，y坐标，z坐标.(提问)根据点的坐标的规定，点（0,0,c）在哪条坐标轴上，点（a，b，0）(a,0,c)在哪个坐标面上？（目的在于检验学生能否正确理解点与有序数组的对应关系，并在问题中正确应用.）

（二） 向量的基本概念及线性运算（15分钟） 1.向量的基本概念

（此部分内容在高中阶段已学，故可由教师引导，师生共同回忆完成） ⑴向量的定义：既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量．

⑵向量的模：向量的大小称为向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶单位向量 模为1的向量称为单位向量． ⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.⑹自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量.2.向量的线性运算 ⑴ 向量的加法

① 三角形法则 若将向量a的终点与向量b的起点放在一起，则以a的起点为起点，以b的终点为终点的向量称为向量a与b的和向量，记为ab.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.②平行四边形法则 将两个向量a和b的起点放在一起，并以a和b为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为ab.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.向量的加法满足下列运算律.交换律：ab=ba； 结合律：（ab）+c=a+（b+c）.⑵ 向量与数的乘法运算

实数与向量a的乘积是一个向量，称为向量a与数的乘积，记作a，并且规定：

①a a；

②当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反； ③当0时，a是零向量. 设,都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律：

结合律：(a)()a(a)；

分配律：()aaa , (a+b)=a+b.

向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算.⑶ 求与a同向的单位向量的方法 设向量a是一个非零向量，则与a同向的单位向量

eaa.a ⑷ 负向量 当1时，记(-1)a=-a，则-a与a的方向相反，模相等，-a称为向量a的负向量. ⑸ 向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为 a-b=a +(-1)b .向量的减法也可按三角形法则进行，只要把a与b的起点放在一起，a-b即是以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量.

（三）向量的坐标表示（40分钟）

1、向径及其坐标表示

⑴ 基本单位向量 i,j,k分别为与x轴,y轴,z轴同向的单位向量.⑵ 向径及其坐标表示

向径 终点为P的向量OP称为点P的向径,记为OP.点P(a1,a2,a3)的向径OP的坐标表达式为OP=a1ia2ja3k或简记为 OP={a1,a2,a3}.讲解例1（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确应用向径的坐标表示.）

2、向量M1M2的坐标表示

设以M1(x1,y1,z1)为起点,以M2(x2,y2,z2)为终点的向量M1M2的坐标表达式为 M1M2=(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)k.讲解例2（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确应用向量M1M2的坐标表示.）

3、向量aa1ia2ja3k的模 a=a1a2a3.

4、空间两点间距离公式

222点M1(x1,y1,z1)与点M2(x2,y2,z2)间的距离记为d(M1M2),则d(M1M2)M1M2, 而M1M2=(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)k 所以d(M1M2)(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

讲解例

3、例4（学生讲解，考察学生对所学知识进行运用的情况） 5.坐标表示下的向量运算

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，则有 （1）ab(a1b1)i(a2b2)j(a3b3)k； （2）ab(a1b1)i(a2b2)j(a3b3)k； （3）a(a1ia2ja3k)a1ia2ja3k； （4）aba1b1,a2b2,a3b3 （5）a∥ba=ba1a2a3.b1b2b3引导学生看书、探究证明方法.由老师分析归纳证明思路，指出定理的作用与用法.讲解例5（师生共同完成，让学生熟悉解题过程，旨在规范学生解题步骤，培养科学的学习方法与态度）

三、课堂练习（9分钟） 教材169页1—5题.（检验学习效果，让学生在会的基础上，训练解题速度。旨在训练学生总结数学思想的能力，并在学习中注意这些数学思想的应用）

四、内容小结（4分钟）

（教师引导学生一起完成，让学生学会总结归纳）

（一） 空间直角坐标系

（二） 向量的基本概念及线性运算 1.向量的基本概念 2.向量的线性运算

（三）向量的坐标表示 1.向径及其坐标表示 2.向量M1M2的坐标表示

3.向量aa1ia2ja3k的模 a=a1a2a3.4.空间两点间距离公式 5.坐标表示下的向量运算

五、布置作业(2分钟) 1.教材169页

2、

4、6题

2.预习第二节向量的点积与叉积

222第二节 向量的点积与叉积

教学目标：熟练掌握用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算.教学重点：向量点积与叉积的概念.教学难点：用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：2学时 教学手段：板书

一、引入新课（5分钟）

(提问) 1.向径及其坐标表示2.向量M1M2的坐标表示3.向量aa1ia2ja3k的模

222a2a34.空间两点间距离公式 a=a1(温故知新,为用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算做一些必要的知识铺垫。)

二、讲授新课（64分钟）

（一）向量的点积（34分钟）

1、引例

已知力F与x轴正向夹角为，其大小为F,在力F的作用下，一质点M沿x轴由x=a移动到x=b,求力F所做的功？（创设学习的情景，激发学生学习数学的兴趣）

分析：在力F使质点M沿x轴由x=a移动到x=b,所做的功等于F的模与位移的模及其夹角余弦的积.解略.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义？引起思维的碰撞，引出向量的点积的定义.

2、定义 设向量a,b之间的夹角为(0π)，则称abcos为向量a与b的数 量积，记作a·b，即 a·b=abcos.

向量的点积又称“点积”或“内积”.讲解例1.（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确理解向量的点积的定义.）

向量的点积还满足下列运算律: 交换律：a·b= b·a；

分配律：(a+b)·c= a·c+b·c；

结合律：(a·b)=(a)·b (其中为常数).

3、点积的坐标表示

（1）设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k,则a·b=a1b1a2b2a3b3.（由学生自行得出点积的坐标表示公式，进一步加深对向量点积的定义的理解） （2）定理1：a⊥bab0a1b1a2b2a3b30

讲解例2.（学生讲解，考察学生对两向量正交充分必要条件的理解与应用能力）

4、向量a与b的夹角余弦

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k,则 cosa1b1a2b2a3b3ab = (0π).

222222aba1a2a3b1b2b

35、向量的方向余弦

设 向 量 aa1ia2ja3k与 x 轴 ,y 轴 ,z 轴 的 正 向 夹 角 分 别 为

,,(0,,π),称其为向量a的三个方向角，并称cos ,cos,cos为a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐标表示为

cos且cos2cos2a1aaa212223, cosa2aaa212223, cosa3aaa212223，

cos21.讲解例4（（师生共同完成.利用数学建模解决物理问题，让学生熟悉建模过程，规范解题步骤.数学来源于生活、服务生活，培养学生学数学、用数学的意识.）

（二）向量的叉积（30分钟） 1.引例

设点O为一杠杆的支点，力F作用于杠杆上点P处，求力F对支点O的力矩.分析：力F对支点O的力矩等于F的模与向量OP的模及其夹角正弦的积.解略.（这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义？引起思维的碰撞，引出向量的叉积的定义.）

2.叉积的定义

(1)定义 两个向量a与b的叉积是一个向量，记作a×b，它的模和方向分别规定如下：

①a×b=absin 其中是向量a与b的夹角；

②a×b的方向为既垂直于a又垂直于b，并且按顺序a,b,a×b符合右手法则.（2）向量的叉积满足如下运算律.反交换律：a×b=-b×a；

分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；

结合律：(a×b)=(a)×b=a×(b)(其中为常数).讲解例5（学生讲解，考察学生对向量叉积定义的理解与应用能力） （3）定理2：a∥bab0.3.叉积的坐标表示

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，则

a×b=(a2b3a3b2)i(a1b3a3b1)j(a1b2a2b1)k.可将a×b表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可.即

i j k a×b= a1 a2 a3 .

b1 b2 b3

讲解例6（师生共同完成，加深学生对叉积的坐标表示公式的记忆，让学生熟悉解题过程，旨在规范学生解题步骤，培养科学的学习方法与态度）

讲解例8(师生共同完成，训练学生解决实际问题的能力)

三、课堂练习（15分钟）

教材174页思考题1—3题.（检验学习效果，让学生在会的基础上，训练解题速度.）

四、内容小结（4分钟）

（教师引导学生一起完成，让学生学会总结归纳，训练学生总结数学思想的能力，并在学习中注意这些数学思想的应用.）

（一） 向量的点积定义、坐标表示；

（二） 向量的叉积定义、坐标表示及记忆方法.

五、布置作业(2分钟) 1.教材174页

2、

4、

6、8题 2.预习第三节平面与直线

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数学分析教案第一章

(数学分析教案)第二章

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