数学分析
3第十六章 多元函数的极限和连续
一、本章重难点
1、本章重点：（1）开集，闭集；
（2）R2上的完备定理；
（3）多元函数的定义，重极限和二次极限，多元函数的连续及性质。
2、本章难点：（1）R2上的完备定理证明；
（2）重极限和二次极限。
二、本章教材处理意见
（1）平面点集的几个概念在以后的学习中应用很多，需要讲透。多元函数的概念需要配备图形给学生以直观理解。R2上的完备定理是R上几个完备定理的推广，其证明难度较大需要花气力说清楚。
（2）二元函数的极限是个难点，它的极限要求较高，应该是讲解的重点。注意二元函数极限与累次极限的区别。
三、考核要求
重点 R2的极限，有界集，内点，边界点，孤立点，聚点，开集和闭集及其关系，闭包，理解闭矩形套定理；掌握多元函数的定义，多元函数的极限和累次极限及其关系，多元函数的连续，了解向量值函数及其极限、连续等性质；理解上连续函数的有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理，掌握连通集和区域等概念。
四、习题处理意见
横线以下可以作为学生自学提高的思考题。
第十七章多元函数的微分学
一、本章重难点
本章重点：（1）偏导数和高阶偏导数的概念与计算；
（2）理解方向导数﹑梯度﹑切线与法平面的概念；
（3）掌握多元复合函数的求导法则；
（4）掌握泰勒公式与极值问题。
2、本章难点：（1）高阶偏导数的计算；
（2）多元复合函数的求导；
（3）泰勒公式与极值问题。
二、本章教材处理意见
（1） 多元函数的微分是本章的重难点，它与一元函数的微分有很大不同，注意多从几
何图形加深理解。
（2） 复合函数的微分无论一元函数还是多元函数都是一个学生很难理解的概念，需要
加重讲解的力度和练习强度。初学复合函数求导时，可利用所谓“链式法则”帮
1助学生理解，以免丢掉一些项。建议采用函数“分解”图分析出各个坐标分量。
（3） 条件极值的求法是个重点。最小二乘法有着广泛的实际应用，注意与实际问题联
系。
三、考核要求：
重点掌握偏导数，方向导数，全微分，连续、可偏导、可微之间的关系，梯度，高阶偏导数和高阶全微分，了解混合偏导数的相等，向量值函数的导数；重点掌握多元复合函数的链式法及其应用。会求多元函数的极值。
第十八章 隐函数定理及其应用
一、本章重难点
1、本章重点：（1）隐函数存在定理；
（2）隐函数组定理；
（3）隐函数求导；
（4）空间曲线的切线与法平面；
(5) 拉格朗日乘数法，条件极值。
2、本章难点：（1）隐函数组定理；
（2）隐函数求导；
（3）几何应用。
二、本章教材处理意见
（1） 关于隐函数的存在性分析要借助于空间图形以便于直观认识。要求学生深
刻理解隐含书的概念及意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；
（2） 隐函数组定理是个难点，结合隐函数存在唯一定理讲解透彻。强调Jacobi
行列式的作用，它相当于一元函数的导数；
（3） 从理论上说，条件极值都可化为普通极值，从解题上说有很多的条件极值
不能化为普通极值。这是因为联系方程（组）的解不一定是初等函数，所
以不能直接化成普通极值。这说明拉格朗日乘数法的优越性。
三、考核要求：
深刻理解隐函数的概念及其意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；知道函数组在一点的邻域存在反函数组的条件；会求隐函数或隐函数组的偏导数和高阶偏导数；会求用隐函数给出的空间曲线的切线方程与法平面方程，以及用参数方程给出的曲面的切平面方程与法线方程；会用拉格朗日乘数法求条件极值。
第十九章含参变量积分
一、本章重难点
1． 本章重点：（1）理解含参变量的常义积分的定义及分析性质；
（2）掌握含参变量的反常积分的一致收敛的判别法及一致收敛积分的分
析性质；
（3）掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系。
2． 本章难点： （1）含参量反常积分的一致收敛以及计算；
（2）欧拉积分。
二、教学内容：
§1 含参变量的常义积分
含参变量的常义积分的定义；含参变量的常义积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理；含参变量的常义积分的计算。
§2 含参变量的反常积分
含参变量的反常积分的一致收敛的定义及判别法：Cauchy收敛原理、Weierstra判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法及Dini定理；一致收敛积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理。
§3Euler积分
Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系；关于Gamma函数的Legendre公式、余元公式和Stirling公式。
含参变量积分是表示初等函数和定义非初等函数的重要工具。我们要求掌握以下内容：
1． 掌握含参变量的有限积分和无穷积分所定义函数的分析性质，及其证明方法；
2． 掌握含参变量无穷积分的一致收敛定义及其判别法，并会叙述非一致收敛；
3． 应用积分号下的可微性与可积性，会计算一些定积分与广义积分；
4． 记住Beta函数和Gamma函数的定义、性质，并会应用Beta函数和Gamma函数计算一些
定积分与广义积分。
三、考核要求：
熟练掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；熟练掌握含参变量的反常积分的一致收敛的判别法及一致收敛积分的分析性质；掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系。
第二十章曲线积分
一、本章重难点
1． 本章重点：（1）理解第
一、二类曲线积分的概念、性质；
（2）掌握第
一、二类曲线积分的计算。
2．本章难点：第
一、二类曲线积分的概念、计算。
二、教学内容：
§1 第一类曲线积分与第一类曲面积分
第一类曲线积分的概念；第一类曲线积分的性质；第一类曲线积分的计算。
§2 第二类曲线积分
第二类曲线积分的概念、性质、计算。
平面上的第一型曲线积分也是定积分的一种推广。它将在x轴线段上的积分推广到平面曲线段上的积分，或者说，定积分是平面上第二型曲线积分的特殊情况。第二型曲线积分与第一型曲线积分不同，它不是关于弧长的积分，在直角坐标系内它是关于弧长元素在坐标轴上投影的积分，它主要是讨论向量函数。要求：
1． 掌握第一型与第二型曲线积分的概念及其物理意义；
2． 能熟练计算用不同形式给出的曲线方程的第一型和第二型曲线积分。
第二十一章 重积分
一、本章重难点
1．本章重点：（1）重积分的概念、可积函数类、性质、以及计算；
（2）格林公式以及曲线积分与路径无关性；
（3）各种坐标系下重积分的计算。
（4）化三重积分为累次积分以及三重积分的坐标变换。
2．本章难点：（1）重积分的计算。
二、本章教学要求：
二重积分的定义、可积条件、性质与定积分的定义、可积条件、性质，基本上是平行的，它们是定积分在二维空间的推广。值得注意的是，二重积分的定义、可积条件、性质等都是按二重极限（每个变量都是独立变化的）处理的，而二重积分的计算却采用累次积分方法，即将二重积分的计算化为连续两次定积分的计算，从而要安置积分限，有的还要进行变量替换。Green公式的形式及意义；Green公式与Newton-Leibniz公式的关系；用Green公式计算曲线积分及求区域的面积；曲线积分与路径无关的条件及其应用；三重积分的定义、可积性、性质以及计算都是与二重积分是完全平行的，二者只是形式上的区别，对三重积分重点是它的计算。要求：
1． 掌握二重积分的定义、可积条件、性质等
2． 会用累次积分方法计算二重积分，掌握各种变量替换；
3． 会利用格林公式计算曲线积分；
4． 会应用曲线积分与路线无关的等价命题计算或证明某些问题；
5． 会用累次法计算三重积分，熟练地掌握柱面坐标替换和球面坐标替换。
第二十二章 曲面积分
一、本章重难点
1． 本章重点：（1）第一型曲面积分与第二曲面积分的概念、计算；
（2）Gau公式及其应用；Stokes公式及其应用；Green公式、Gau公
式和Stokes公式三者之间的关系。
2． 本章难点：（1）第一型曲面积分与第二曲面积分的概念、计算；
（2） Gau公式及其应用；Stokes公式及其应用；Green公式、Gau公
式和Stokes公式三者之间的关系。
二、本章教学要求
第一型曲面积分是二重积分的推广，它是将 xy平面上有界区域推广到三维空间中的有界光滑曲面。第二型曲面积分是向量函数在曲面上的积分，它是力学、电学等学科的重要数学工具。Gau公式是沟通三重积分与第二型曲面积分之间的桥梁。Stokes公式是沟通第二型曲面积分与空间曲线积分之间的桥梁，这两个公式在场论中占有重要地位。要求：
1． 掌握第一型曲面积分与第二型曲线积分的定义及其性质；
2． 会计算第一型曲面积分与第二型曲面积分，特别掌握Gau公式和Stokes公式，并能应用它们计算曲面积分；
3． 会应用空间曲线积分与路径无关的条件计算或论证某些问题。
考核要求：
综合分析第
一、二类曲面积分的概念与计算；掌握Gau公式和Stokes公式及其应用。数学分析课程建设小组
执笔人：刘红美2004年10月
