.11.1正弦定理(2)
一、课题:正弦定理(2)
二、教学目标:1.掌握正弦定理和三角形面积公式,并能运用这两组公式求解斜三角形,解决实际问题;
2.熟记正弦定理abc2R(R为ABC的外接圆的半 sinAsinBsinC
径)及其变形形式。
三、教学重点:正弦定理和三角形面积公式及其应用。
四、教学难点:应用正弦定理和三角形面积公式解题。
五、教学过程:
(一)复习:
1.正弦定理:在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等,
abc2R(R为ABC的外接圆的半径); sinAsinBsinC
1112.三角形面积公式:SABCbcsinAacsinBabsinC. 222 即:
(二)新课讲解:
1.正弦定理的变形形式:
①a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;
2.利用正弦定理和三角形内角和定理,可解决以下两类斜三角形问题:
(1)两角和任意一边,求其它两边和一角;
(2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。
一般地,已知两边和其中一边的对角解斜三角形,有两解或一解(见图示)。C aaB1 B 2abc,sinB,sinC; 2R2R2R③sinA:sinB:sinCa:b:c. ②sinABabsinAbsinAababab一解两解一解一解
3.正弦定理,可以用来判断三角形的形状,其主要功能是实现三角形边角关系的转化: 例如,判定三角形的形状时,经常把a,b,c分别用2RsinA,2RsinB,2RsinC来替代。
4.例题分析:
例1在ABC中,1 AB2 sinAsinB的()
A.1只能推出2B.2只能推出1 C.
1、2可互相推出D.
1、2不可互相推出
解:在ABC中,ABab2RsinA2RsinBsinAsinB,因此,选C.
说明:正弦定理可以用于解决ABC中,角与边的相互转化问题。
例2在ABC中,
若lgalgclgsinB,且B为锐角,试判断此三角形的形状。 解
:由lgalgclgsinB,
得:sinB
B450B90,
2asinA①
c2sinC2
将A135CC2sin(135C)。
∴sinCsinCcosC,∴cosC0,故C90,
A45,∴ABC是等腰直角三角形。
说明:(1)判断三角形的形状特征,必须深入研究边与边的大小关系:是否两边相等?是否三边相等?还要研究角与角的大小关系:是否两角相等?是否三角相等?有无直角?有无钝角?
(2)此类问题常用正弦定理(或将学习的余弦定理)进行代换、转化、化简、运算,揭示出边与边,或角与角的关系,或求出角的大小,从而作出正确的
判断。
例3某人在塔的正东方沿南60西的道路前进40米后,望见塔在东北方向上,若沿途测得
塔的最大仰角为30,求塔高。
D解:如图,由题设条件知:CAB1906030,
ABC451453015,
北 C
∴ACB180BACABC1803015135,
又∵AB40米,在ABC中,
B
AC40
, sin15sin135
40sin15
30)1), ∴AC
sin13
5在图中,过C作AB的垂线,设垂足E,则沿AB测得塔的最大仰角是CED, ∴CED30,在RtABC中,ECACsinBACACsin301),
在RtDCE中,塔高CDCEtanCED1)tan30
10(3(米).
3例4如图所示,在等边三角形中,ABa,O为中心,过O的直线交AB于M,交AC
于N,求
1
1的最大值和最小值。 OM2ON
2解:由于O为正三角形ABC
的中心,∴AO
设MOA,则
,MAONAO,
6A
2
,在AON中,由正弦定理得: 3
OMOA
,∴OM,
sinMAOsin[(
)]sin()
66
M
N
B
在
AOM中,由正弦定理得:ON
sin()
6,
1112121222
[sin()sin()](sin), 2222
OMONa66a223∵,∴sin1, 33
41118
故当时取得最大值,
2OM2ON2a2
2311152
所以,当,or时sin,此时取得最小值. 222
334OMONa
∴
六、课练:《
七、课堂小结:1.正弦定理能解给出什么条件的三角形问题?
2.由于有三角形面积公式,故解题时要注意与三角形面积公式及三角形外
接圆直径联系在一起。
八、作业:
1.在ABC中,已知atanBbtanA,试判断这个三角形的形状;
222
2.在ABC中,若sinA2sinBcosC,sinAsinBsinC,试判断ABC的形状。
22