必修5教案1.1正弦定理余弦定理

发布时间：2020-03-01 23:11:56 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

教学设计示例（第一课时）

一、教学目标

1．掌握正弦定理及其向量法推导过程；

2．掌握用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．

二、教学重点正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用；

教学难点正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定．

三、教学准备

直尺、投影仪．

四、教学过程

1．设置情境

师：初中我们已学过解直角三角形，请同学们回忆一下直角三角形的边角关系：生：RtABC中有abc 22

2acsinA

bcsinB

atanAb

AB90

ab sinAsinB

师：对！利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角．

师：在直角三角形中，你能用其他的边角表示斜边吗？

生：在直角三角形ABC中，cabc。 sinAsinBsinC

师：这个式子在任意三角形中也是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理（板书正弦定理）．

2．探索研究

（1）师：为了证明正弦定理（引导学生复习向量的数量积），ababcos，式子的左边与要证明的式子有相似之处吗？你能否构造一个可以用来证明的式子．

生：如图，在锐角ABC中，过A作单位向量j垂直于，则j与的夹角为90A,j与的夹角为90C。

由向量的加法可得



对上面向量等式两边同取与向量j的数量积运算，得到

j

ACCBjAB

9090C)

90A)

asinCcsinA

同理，过点C作与垂直的单位向量j，可得

cb sinCsinB

∴abc sinAsinBsinC

师：当ABC为钝角三角形时，设A90，如图，过点A作与AC垂直的向量j，则j与的夹角为A90，j与的夹角为90C，同样可证得

abc sinAsinBsinC

师：课后同学考虑一下正弦定理还有没有其它的方法证明？

师：请同学们观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三

角形问题？

生：已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。

（2）例题分析

例1在ABC中，已知c10,A45,C30，求b（保留两个有效数字） bc且B180(AC)105 sinBsinC

csinB10sin105∴b19 sinCsin30解：∵

例2在ABC中，已知a4,b42,B45，求A。 abasinB1得sinA sinAsinBb2

∵ABC中ab∴A为锐角∴A30 解：由

例3在ABC中，B45,C60,a2(1)，求ABC的面积S。解：首先可证明：SABC

这组结论可作公式使用。

其次求b边 1111ahabsinCbcsinAacsinB。 2222



A180(BC)75

∴由正弦定理，basinBsinA2(31)(2)4 2

∴SABC11absinC2(31)4()623 222

3．演练反馈

（1）在ABC中，一定成立的等式是（）

A．asinAbsinBB．acosAbcosB

C．asinBbsinAD．acosBbcosA

（2）在ABC中，若a

Acos2bBcos2cCcos2，则ABC是（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等边三有形

（3）在任一ABC中，求证a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)0 参考答案：（1）C；（2）D；（3）证：由于正弦定理：令aksinA,BksinB,cksinC代入左边得：左边＝k(sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB)0＝右边

4．总结提炼

（1）三角形常用公式：ABC；S

弦定理以及下节将要学习的余弦定理。 111absinCbcsinAcasinB；正222

a2RsinAabc（2）；b2RsinB；2R（外接圆直径）sinAsinBsinCc2RsinC

a:b:csinA:sinB:sinC。

（3）正弦定理应用范围：

①已知两角和任一边，求其他两边及一角。

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

③几何作图时，存在多种情况。如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数。

数学： 1.1 正弦定理教案(苏教版必修5)

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