课堂实例——反函数复习课

课堂实例：反函数复习课

反函数在高中教材中起着承上启下的作用，一方面前面学习了函数相关内容，由于反函数也是函数所以通过反函数的学习可以进一步深化函数基础知识的理解，另一方面接下来还会研究其他函数的性质，反函数的学习可以更好的理解并掌握这些函数的性质，所以可以说它又为后续内容起了了一个很好的铺垫作用。下面看一下反函数的基础知识：

一．反函数概念

一般地，对于函数yf(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对于A中任意一个值y，在D中都有唯一确定的x值与它对应，且满足yf(x)，这样得到的x关于y 的函数叫做yf(x)的反函数，记作xf1(y).

1在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为yf由定义得到的结论：（1）存在反函数的条件：x与y是一一对应的函数

(x)(xA)

（2）原函数与反函数定义域和值域具有互换的关系

（3）原函数与反函数二者不可剥离开谈，二者互为反函数，即反函

数的反函数是原函数

（4）求反函数步骤：（四步法）

①求原函数值域

②反表示

③互换x,y

④下结论（注意：标出定义域即原函数值域） 二．原函数与反函数图像之间的关系 函数yf(x)与yf相同的单调性

（说明：在原函数上若存在点P(a,b)则在反函数上必存在该点关于直线yx的对称点P(b,a)） 三．一些重要结论

（1）函数yf(x)与xf1\'1(x)图像关于直线yx对称，并且二者在各自定义域内具有

(y)在同一平面直角坐标系中为同一函数图像

1（2）若函数yf(x)与yf(x)有交点，则交点在直线yx上或者是关于直线yx对称

例如：

（3）奇函数未必存在反函数

例如：ysinx

若奇函数存在反函数则反函数也是奇函数

（4）偶函数也有可能存在反函数

例如：y0(x0)（单点函数） 若偶函数不为单点函数则不存在反函数 （5）单调函数一定存在反函数

存在反函数的函数未必是单调函数 例如：反比例函数 y1(x0) x1,(x0) 分段函数 yx

x,(x0)（6）两个重要公式

若函数yf(x)定义域为D，值域为A则由反函数定义知：b=f（a）a=f1（b），

－下面两个式子是a、b之间关系的两种不同表示形式.

①f1f(x)x,xD

1

②ff(x)x,xA 四．相关习题

㈠求反函数问题 1.求函数y=－1（x≠－1）的反函数 x12.求函数y=log2（x+1）+1（x＞0）的反函数 3.求函数f（x）=－x2（x∈（－∞，－2］）的反函数 4.求函数y=e2x（x∈R）的反函数

x21(x1),5.求函数f（x）=的反函数

x1(x1)说明：求反函数按照步骤求解，求分段函数的反函数分别求再组合到一起，一般的分段函数的反函数仍为分段函数

㈡反函数的存在问题

6.若函数y=x2－2ax－3在区间［1，2］上存在反函数，则求a的取值范围

7.若yxa(a0)在4,8存在反函数，求a的取值范围 xπ得到，2㈢函数图像问题

8.若函数y=f（x）的图象可由y=lg（x+1）的图象绕坐标原点O逆时针旋转求函数f（x）

－－9.已知函数y=log2x的反函数是y=f1（x），画出函数y=f1（1－x）的图象 ㈣对称问题

1axb）既在函数y2的图象上，又在它的反函数的图象上，求a,b值 4x511.已知函数f（x）=的图象关于直线y=x对称，求实数m

2xm10.若点（2， 12.已知函数f(x)abx1（b＞0，b≠1）的图象经过点（1，3），函数f1（x+a）（a

－＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f1（x）的表达式 ㈤其它问题

－13.若函数f（x）=

1x－

，求f1（）

3x2114.设函数f(x)13x的反函数为yf(x)，求f1(10)

115.已知函数y=（fx）是奇函数，当x≥0时，（fx）=3x－1，设（fx）的反函数是yf求f1(x)

(8)

11－x）（a＞0，且a≠1）.2a1－16.已知函数f（x）=2（（1）求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；

－（2）判定f1（x）的奇偶性；

－（3）解不等式f1（x）＞1.17..已知函数f（x）=（

x12

）（x＞1） x1－（1）求f（x）的反函数f1（x）；

－（2）判定f1（x）在其定义域内的单调性；

（3）若不等式（1－x）f1（x）＞a（a－x）对x∈［

－

11，］恒成立，求实数a164的取值范围.

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