分析立体几何证明题思路的方法

发布时间：2020-03-02 23:50:47 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

应用分析法分析立体几何证明题思路

立体几何是高中数学中很重要的一部分知识，对培养学生空间想象能力有很重要的意义，虽然近些年高考中立体几何的难度有所降低，但一直是高考的必考点，其中证明又是重要的考察点。有许多空间想象能力较弱的学生一见到立体几何证明题就无从下手，也不知道该怎么学习这部分知识，下面谈谈我在教学中的一些做法。

一、基础知识的准备，学生需要熟悉所学的公理、定理的条件和结论，并按照结论来分类，这样做的目的是让学生知道当要证明一个结论时需要选择的方法有哪些，然后根据条件来确定。立体几何证明里边常见的是位置的证明，有平行和垂直，又可分为六种，有线线、线面、面面平行和垂直。整理方式如下：

（一）线线平行

1.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；

2.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行； 3.面面平行的性质定理：一个平面与两个平行平面的交线互相平行；

4.垂直于同一个平面的两条直线平行。

（二）线面平行

1.线面平行的判定定理：平面外一条直线平行于平面内的直线，则该直线与平面平行；

2.面面平行的性质定理：两个平面平行，则一个平面内的任意直线平行另外一个平面。

（三）面面平行

1.面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；

2.推论：两个平面内的两条相交直线分别平行，则两个平面互相平行。

（四）线线垂直

1.线面垂直的性质定理：直线垂直于平面，则该直线垂直于平面的内的所有的直线；

2.三垂线定理：平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；

3.三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

（五）线面垂直

1.线面垂直的判定定理：直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线垂直于平面；

2.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

（六）面面垂直

面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。

二、掌握证明方法，用分析发来分析思路，用综合法来书写证明过程。分析时从结论出发，找结论成立的条件。下面用例题来说明。

例1（2014年全国卷2第18题）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD,E为PD中点。

（I）证明：PB//面AEC; (II)略。

分析：要证明的是线面平行，根据掌握的常用结论有线面的判定和面面平行的性质，从图中观察，PB所在的两个平面和面AEC并不平行，所以选择用判定，在平面内找一条直线与PB平行，现有的三条也不平行，这时就想到要做辅助线了，怎么做呢，由点E是中点容易想到用三角形的中位线所以连接BD交AC于点O，连接OE，O为BD的中点，OE为中位线，所以平行于PB，故能证明结论PB//面AEC成立。下面用简图说明；

要证明PB//面AEC

 PB//OE



OE是PBD的中位线

书写证明过程时从条件出发，证明如下：证明：连接BD交AC于点O，连接OE。

点E是PD的中点

PB//OE OE面ACE

PB//面AEC

例题2（2013陕西第18题）如图，四棱柱ABCDA\'B\'C\'D\'的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A\'O平面BB\'D\'D,ABAA\'2.(I)证明：A\'CBB\'D\'D; (II)略。

要证明线面垂直，能用的结论有线面垂直的判定和面面垂直的性质，这就有两种证明方法了，先用线面垂直的判定来分析。

分析1： A\'CBB\'D\'D

ACBD