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必修2 证明题
一.解答题(共3小题)
1.(2006•北京)如图,在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.
(1)求证:PB∥平面AEC;
(2)求二面角E﹣AC﹣B的大小.
考点:三垂线定理;直线与平面平行的判定。
分析:(1)欲证PB∥平面AEC,根据直线与平面平行的判定
定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可,连BD
交AC于点O,连EO,
则EO是△PDB的中位线则EO∥PB,满足条件;
(2)取AD的中点F,连EF,FO,根据定义可知∠EOF是
二面角E﹣AC﹣D的平面角,在△EOF中求出此角,而二面
角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补.
解答:解:(1)由PA⊥平面ABCD可得PAAC
又AB⊥AC,所以AC⊥平面PAB,所以AC⊥PB
连BD交AC于点O,连EO,
则EO是△PDB的中位线,
∴EO∥PB
∴PB∥平面AEC
(2)取AD的中点F,连EF,FO,
则EF是△PAD的中位线,
∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD,
∴EF⊥平面ABCD
同理FO是△ADC的中位线,
∴FO∥AB,FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角.
又
FO=AB=PA=EF
∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补,
故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°.
点评:本题主要考查了直线与平面平行的判定,以及二面角等有关知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
2.如图,已知∠BAC在平面α内,P∉α,∠PAB=∠PAC,求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
考点:三垂线定理。
专题:作图题;证明题。
分析:作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为O,E,F,连接OE,OF,OA,
证明Rt△AOE≌Rt△AOF,然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
解答:证明:作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC,
垂足分别为O,E,F,连接OE,OF,OA,
∵⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF,
∵,
又∵AB⊥PE,
∴AB⊥平面PEO,
∴AB⊥OE,同理AC⊥OF.
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必修2 证明题
在Rt△AOE和Rt△AOF,AE=AF,OA=OA,
∴Rt△AOE≌Rt△AOF,∴∠EAO=∠FAO,
即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
点评:本题考查三垂线定理,考查学生逻辑思维能力,是基础题.
3.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3.
(I)求证:A1C⊥BD;
(II)求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值;
(III)求二面角B1﹣CD﹣B的正切值.
考点:三垂线定理;直线与平面所成的角;与二面角有关的立体几何综合题。
专题:计算题;证明题;综合题。
分析:(I)连AC,要证A1C⊥BD,只需证明AC⊥BD,说明AC是A1C在平面ABCD
上的射影即可;
(II)说明∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角,解三角形A1CB1,求
直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值;
(III)找出∠B1CB为二面角B1﹣CD﹣B的平面角,通过角三角形求二面角B1﹣CD
﹣B的正切值.
解答:解:(I)连AC,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,
底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD
又侧棱AA1⊥平面ABCD
∴AC是A1C在平面ABCD上的射影
∴A1C⊥BD(三垂线定理);(4分)
(II)在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BB1C1C,
所以B1C是A1C在平面BB1C1C上的射影
∴∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角,(6分)
在直角三角形A1CB1,A1B1⊥B1C,A1B1=2,
∴;(9分)
(III)在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,CD⊥平面BB1C1C
∴CD⊥B1C,CD⊥BC
∴∠B1CB为二面角B1﹣CD﹣B的平面角,(11分)
∴
二面角B1﹣CD﹣B的正切值为.
点评:本题考查三垂线定理,直线与平面所成的角,二面角及其度量,考查学生空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.
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