空间直线、平面的平行与垂直问题
一、“线线平行”与“线面平行”的转化问题，“线面平行”与“面面平行”的转化问题
知识点：
一）位置关系：平行：没有公共点．
相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上．
相交包括垂直相交和斜交．
二）平行的判定：
（１）定义：没有公共点的两个平面平行．（常用于反证）
（２）判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行．（线面平行得面面平行）
（３）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（４）平行于同一个平面的两个平面平行．
（５）过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个．
三）平行的性质：
定义：两个平行平面没有公共点．（常用于反证）
性质定理一：若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行．（面面平行得线线平行，用于判定两直线平行）
性质定理二：两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面．（面面平行得线面平行，用于判定线面平行）
一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．（用来判定直线与平面垂直）
一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然．
夹在两个平行平面间的平行线段相等．特别地，两个平行平面间的距离处处相等．
二、“线线垂直”到“线面垂直”“线面垂直” 到“线线垂直”及三垂线定理
1、斜线长定理——从平面外一点所引的垂线段和斜线段中
①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
②相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
③垂线段比任何一条斜线段都短
2、直线与平面所成的角
一条直线若是平面的斜线，那么它和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。特别地，若这条直线是平面的垂线，那么这条直线与平面所成的角是直角;如果这条直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是0。090
结论：斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
3、三垂线定理及逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理：在平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。
其主要作用有：①证明问题：如线线、线面、面面垂直的证明；
例题
1、（将线面平行转变为线线平行）：如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.（Ⅱ）求证：PB//平面AEC；
2、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF//BC．
2（1）证明FO//平面CDE；（线面平行时用） （2
）设BC直时用）
3、（将线面平行转变为面面平行）如图,长方体
ABCD-A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点，
AD=AA1a,AB=2a,
（线面垂D，证明EO平面CDF．
（Ⅰ）求证：MN//平面ADD1A1；
4、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB//DC,
ACBD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO
2,PO
PBPD.（Ⅲ）设点M在棱PC上，且
PMMC
,问为何值时，PC
平面BMD。
5、（将面面垂直转变为线面垂直）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，
PD底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC平面PDB；
（可用空间向量做）
6、（线线垂直先证线面垂直）：如图：三棱锥vABC中，AH侧面VBC且H是VBC的重心，BE是VC边上的高 （1）求证：VCAB
7、如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明PA⊥BF；
8、（利用空间向量解决线面平行垂直问题）如图，平面PAC平面ABC，ABC
是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，
PB，AC的中点，AC16，PAPC10．
（I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；
