§2 函数极限的性质
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：
1）；2）；3）；
4）；5）；6）。
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。
至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。
定理3.2（唯一性）若极限
证设与、都是当 存在，则此极限是唯一的。 时的极限，则对任给的，
分别存在正数，使得当
时有
（1）
当
时有
（2） 取，则当时，（1）式与 (2) 式同时成立，故有
由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。
定理3.3（局部有界性） 若极限
内有界。存在，则在某空心邻域
证设
。取，则存在，使得对一切
。
有
这就证明了在内有界。
定理3.4（局部保号性）若（或
），存在，使得对一切
有
（或），则对任何正数
（或
证 设
有
，这就证得结论。对于，对任何
，取
，则存在
）。
，使得对一切
的情形可类似地证明。
定理3.5（保不等式性）设
内有
，则
与
都存在，且在某邻域
。（3）
证 设，使得当
，时
，则对任给的，分别存在正数与
（4）
当
时有
（5）
令
，则当
时，不等式
与（4）,
（5）式同时成立，于是
有式成立。
，从而
。由的任意性得
，即（3）
定理3.6（迫敛性）设==，且在某内有
（6）
则
。
证 按假设，
对任给的
，分别存在正数
与
，使得当
时
（7）
当
时有
（8）
令
式同时成立，故有
，则当
时，不等式（6）、（7）、（8）
，由此得
，所以。
定理3.7（四则运算法则）若极限，
当
与
都存在，则函数
时极限也存在，且
1）
=
2）
=
又若，则当时极限也存在，且有
）
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。
例1求。
解 由第一章§3习题13，当 时有
，而
，故由迫敛性得
。
另一方面，当时有
，故由迫敛性又可得
。
综上，我们求得
。
例2 求。
解由
及§1例4所得的
并按四则运算法则有
=
例3 求
解 当 时有
。
故所求极限等于
。
例4证明证任给
（不妨设
），为使
（9）
即
，利用对数函数
（当
时）的严格增性，只要
于是，令
成立，从而证得结论。
，则当时，就有（9）式
