110;
110)作10等分,分点为:n.n11,n.n12,,n.n19,则存在0,1,2,,9中的一个数n2第一章 实数集与函数
§2 数集.确界原理
《数学分析》电子教案
(1)对任何xS,有xn.n1n2(2)存在a2S,使a2n.n1n2.
1102;
如此不断10等分前一步骤所得区间,可知对任何k1,2,存在0,1,2,,9中的一个数nk,使得: (1)对任何xS,有xn.n1n2nk(2)存在akS,使akn.n1n2nk.
将以上步骤无限进行下去,得到实数n.n1n2nk,以下证明supS,即证:(ⅰ)对一切xS,有x;(ⅱ)对任何,存在x0S使得x0S.
110k;
先证(ⅰ): (反证)假设存在xS,使x,则可找到非负整数k,使xkk,而xxk且kn.n1n2nk110k,故xn.n1n2nk110k与(1)矛盾,故对一切xS,有x.
再证(ⅱ): 由知存在非负整数k,使kk,而kn.n1n2nk,k,故n.n1n2nk,
由(2)便知存在x0S使x0n.n1n2nk
确界原理是数学分析极限理论的基础,因此具有极其重要的地位,应对定理的内容充分理解,给予充分重视.例4 设数集S有上界,证明:supSSmaxS.分析:由确界原理,supS意义,按确界定义证明。
证 (必要性)因为supS , 所以对一切xS有x,又S,故maxS.
(充分性)设maxS,则:对一切xS,有x;对任何,只需取x0S,则x0,故supS。
例5 设A、B为非空数集,满足:对一切xA和yB有xy.证明:数集A有上确界,数集B有下确界,且supAinfB.
分析:首先,证明supA,infB.有意义,用确界原理.其次,证明supAinfB.
证
由假设,数集B中任一数y都是数集A的上界,A中任一数x都是B的下界,故由确界原理推知数集A有上确界,数集B有下确界.
对任何yB,y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,supA是数集A的最小上界,故有supAy.而此式又表明supA是数集B的一个下界,故由下确界定义证得supAinfB.