几何证明与综合应用
1、如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，
2、CF∥AE交DG于F.（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；
（2）求证：AE=FC+EF.
2、如图2，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G.
（1）求证：ADE≌CDE；
（2）过点C作CHCE，交FG于点H，求证：FHGH；
（3）设AD1，DFx，试问是否存在x的值，使ECG为等腰三角形，若存在，请求出x的
A
D
值；若不存在，请说明理由.E
F
B
C
H
G
图
23、如图3，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线
BC上，且PE=PB.（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
4、如图4-1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，E是AB的中点，
连结CE并延长交AD于F.（1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；
（2）如图4-2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.
F
30°
D
B E 图
3C
D D
B
H
B
5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形． D A （1）AD与BC有何等量关系？请说明理由； （2）当ABDC时，求证:□ABCD是矩形．C B
图4-1 图4-
26、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？ A
E FM N
B DC
7、如图-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC
边上的点，且AEEF，
BE2.（1）求EC∶CF的值；
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图-2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理
由；
（3）在图-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证
明；若不存在，请说明理由．
P F
B E C B E C
8、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BDDF，G为DF中图-1 交BC于F，连接图-2 点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）
中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论
是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
D D
图②
图③ 图①
9、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于
点N．
（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN．①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =，求点M到AD的距离及tan的值；
（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．
试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
M （图25-1） B B （图25-2） A
10、已知△ABC中，ABAC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD，连
结DE．
（1）如图1，当BAC120，DAE60时，求证：DEDE．
（2）如图2，当DEDE时，DAE与BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
（3）如图3，在（2）的结论下，当BAC90，BD与DE满足怎样的数量关系时，△DEC
是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）．
DD D
B DC B B E D E D E 图3 图1 图
211、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M 点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置
D 时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值．
N
C M第22题
12、图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，
∠A=30o，∠E= 45o，∠EDF=∠ACB=90 o ，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．
（1）如图①，当DF经过点C 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN．
（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理
由．
EB B①
②
13、（1）观察与发现:小明将三角形纸片ABC(ABAC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． A A
F
图① 图②
（2）实践与运用
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D处，折痕为EG（如图 ④）； 再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．
E D A DA D A
DC C B B C F F图③ 图④ 图⑤
14、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B60.（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EPx.
MN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；①当点N在线段AD上时（如图2），△P
若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.
A A A D D DNF F F
B C B C B C MM 图1 图2 图
3D A D （第25题） A
F F
B C B C图5（备用） 图4（备用）
15、如图①，四边形ABCD是正方形， 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点
F.（1）求证：DE－BF = EF．
（2）当点G为BC边中点时， 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．
（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．
A D
A D
E
FB C CG G B
图①
图②
