让儿童“创造”属于自己的知识
——苏教版小学数学第十册《用数对确定位置》教学实录
【教学目标】
1．在二年级“第几排第几个”的基础上，自主建构“用数对确定位置”的方法，体会它的准确性、简洁性。
2．感受数学发现的乐趣，体验数学创造的价值。
【教学过程】
一、谈话引入
师：初次见面，能告诉我，哪个班的？ 生：五（2）班。
师：噢，是五年级的二班，对吗？ 生：对！
师：那为什么不老老实实告诉我，是五年级二班，而非要说“五（2）”班？ 生：这样比较简洁。
生：说五（2）班，别人一听，也就知道是五年级二班了。
师：既然这样，那我觉得还可以更简洁一些呢。别人要问我，哪班的——二班！ 生：不行！不行！
师：怎么啦，不是更简洁了吗？
生：光说二班，别人怎么知道是哪个年级的二班呢，这样不准确。 师：那行，要别人问我，哪班的——五！这回总算行了吧。
生：还是不行！这样说，虽然别人知道你是五年级，可到底是五年级哪个班，别人还是不清楚。
生：而且，你光说五，别人还不知道这究竟是五年级呢，还是五班，所以还是不行！
师：看来，生活中，我们不能为了简洁而简洁，简洁的同时，还得注意什么？ 生：准确！
师：说得好！（板书：简洁、准确）
二、尝试探索
师：其实，数学上也一样。比如，二年级时我们已经研究过用“第几排第几个”来确定位置，还记得吗？ 生：记得！
师：下面的照片中，哪一个才是张老师的儿子呢？大胆猜一猜，并用二年级学过的方法确定他的位置。 生：我猜是第3组第2个。
师：嗯，你是竖着看的。第3组——第2个——小伙长得挺帅哦！（生笑）有不一样猜测的吗？
生：我觉得可能是第5组第1个。
师：你也是竖着看的，觉得是他，对吧。一看就很聪明！（生笑） 生：我觉得是第3行的第2个。
师：你是横着看的。第3行——第2个——还有不一样的吗？ 生：我觉得还可能是第4组第5个。
师：这样看来，光靠猜，要一下子确定张老师儿子的位置，感觉怎么样？ 生：有点困难。 师：那就给点提醒吧，看看会不会好一些。他呀，在第4组——（师板书：第4组）
生：我知道了，是第4组第3个。 生：不一定，还可能是第4组第5个。
生：第4组有两个男生，光说第4组还是没法确定，还得看看在第几个。（师继续板书：第3个） 生：找到了，是他！
师：看来，二年级掌握的方法，还真能帮助我们很快确定一个人的位置。不过，换个角度看看，除了第4组第3个以外，还可以怎么确定他的位置？ 生：第3排第4个。（师板书：第3排第4个）
师：无论是第3排第4个，还是第4组第3个，能确定张老师儿子的位置吗？ 生：能！
师：既然这样的方式已经能够确定位置了，那我们今天还来研究什么呢？ 生：我觉得是不是有比像“第3排第4个、第4组第3个”更简洁的方法，也可以用来确定位置。
师：了不起！和数学家想一块儿去了。那么，到底有没有比它更简洁的确定位置的方法？如果有，又会是什么样的呢？下面的时间，我把这一任务留下四人小组，看看能不能集中大家的智慧，在“第3排第4个、第4组第3个”的基础上，创造出比它更简洁、准确的方法。有没有信心？ 生：有！
师：别忘了，把研究出的方法，记录在自己的作业本上。如能找到不同的方法，都可以记录下来！
（五分钟内，学生以小组为单位展开研究。教师巡视，并将学生中出现的典型方法记录下来。板书） ①4排3个 ②43 ③4.3 ④竖4横3 ⑤↑4→3 ⑥3-4 ⑦4，3
三、交流建构
师：这是从同学们中收集到的部分方法。看看每一种，似乎都挺简洁。到底该选哪一种呢，还是请大家来作评判吧。
生：我觉得第二种方法不好，很容易混淆。不知道的人，还以为是43这个数呢。 师：嗯，颇有同感。看来，光简洁是不够的，还得注意准确，不能引起别人的误会。
生：我觉得第三种方法也不行，它很像一个小数，也容易引起误会。 生：我觉得第一种方法也不太好，就省了两个字，其他没什么区别。 师：那会不会引起误会？
生：误会倒不会，但弄了半天就少了两个字，等于没弄。（生笑）
师：看来，准确倒是有了，可惜又不够简洁。至少在大家看来，简洁得还不够，对吧？不过，听了半天，老师听到的似乎都是批评的声音。难道，刚才被批评的方法，一点值得肯定的地方都没有吗？ 生：不对，它们好歹都比原来要简洁一些。
师：这就是一种进步！不过，除了简洁，难道就没有别的什么共同的地方？ 生：哦，它们都有4和3这两个数！ 师：多善于观察！那剩下的几种方法里呢？ 生：也都有这两个数。
师：既然每一个小组都不约而同地保留了这两个数，说明—— 生：这两个数一定很重要。 生：缺一不可！
师：说得好！那这里的4和3究竟各表示什么意思呢？为了便于大家观察和思考，我们可以把这里的每个人都简化成一个圈。（出示下图） 生：这里的4应该表示第4竖排。
师：数学上，我们把竖排叫做列。通常，确定列都是从左往右。现在你知道，这里的4表示张老师儿子在—— 生：第4列。 师：那3呢？ 生：3表示第3横排。 生：3表示第3行。
师：没错！数学上，横排就叫行。猜猜看，哪儿是第一行？ 生：最下面的是第1行。
师：是的。确定行，通常都是从前往后、从下往上。现在，确定了第4列，又确定了第3行，能最终确定他的位置吗？ 生：能。
(教师利用课件，用两条直线表示相应的行和列，并相交于一点，以确定相应的位置。如下图）
师：试想，如果只给你第4列，行吗？
生：不行。因为只给第4列，它上面有好几个人，不知是哪个。 师：只给第3行行吗？
生：还是不行，第3行上也有好几个人，同样无法确定。
师：看来，行数和列数缺一不可。少了谁，都无法确定他的位置。既然如此，我觉得剩下的几种方法似乎都不错呀。哪种更好呢？
生：我觉得第4种肯定不行，既有数字又有汉字，看起来就不简洁。 师：可是，他们小组明知加上汉字不够简洁，为什么还要添上这两个字呢？ 生：我知道！如果不添上这两个字，那就不知道这里的4和3哪个是行，哪个是列了。
生：如果这样，那我觉得第6和第7种也都不行。虽然他们都保留了4和3，并且也很简洁，但是，由于它没有说清楚哪个是行，哪个是列，所以很容易让人混淆。（该生的观点得到了全班多数同学的支持）所以，我觉得还是第5种方法比较好。竖着的箭头表示列，横着的箭头表示行。连在一起就是第4列第3行，而且也很简洁。（不少同学频频点头）
师：那这样，同意这位同学观点的请举手。（绝大多数举手表示赞成）这么多同学都赞成啊？那你们不是成心要为难老师嘛！ 生：为什么？
师：因为数学家们最终采纳的方法，已经被你们给否定掉了！ 生：啊？！
师：猜猜看，他们最终采纳的可能是其中的哪种方法？ 生：不会是最后一种吧？！
师：真被你给猜中了。那现在，你们觉得这种方法怎么样？
生：我还是觉得不行，你不说清楚哪个表示列，哪个表示行，别人还是要混淆的。 师：这么说，连数学家们的观点你们也敢反驳？ 生：当然了，因为他们的观点是错的！（生笑）
师：那你们说该怎么办？数学家就这么定的，你们又不同意。别的方法，你们觉得又不行。
生：我觉得就可以用第5种，既简洁又准确。 生：用第7种也行，但必须得加个规定。 师：什么规定？
生：得规定哪个数是行数，哪个数是列数，以后遇到这样的情况，都按照这样的规定。
师：真是太棒了。你绝对和数学家们心有灵犀一点通！告诉大家，其实数学家们选择第7种方法时，也发现了它的漏洞。怎么办呢？后来一讨论，干脆一不做、二不休，给它来个规定：以后凡是像这样用行数和列数来确定一个点的位置，我们通常都将列数写前面，行数写后面。现在，还会引起误会吗？ 生：不会了。
师：按照这样的规定，哪个数写前面？ 生：4。 师：后面呢？ 生：可以写上3。
师：中间还得加个逗号隔开。后来，为了进一步作出区分，他们干脆又在列数和行数外面加上了一个小括号。（教师边介绍边板书）像这样，用列数和行数所组成的一个数对来确定位置，就是我们今天所要研究的内容。（板书课题：用数对确定位置）
师：回忆刚才的学习过程，有什么收获？ 生：我知道了如何用数对来确定位置。
生：我发现，用数对确定位置时，通常都是把列数放前面，把行数放后面。 师：说得挺好，想不想试试？ 生：想！ (出示如下画面) 师：小邓和小白是张老师儿子最要好的朋友，你能用数对表示他们的位置吗？ 生：小邓的位置用数对表示是（2，1）。 师：为什么？
生：因为小邓在第2列、第1行，所以用数对表示是（2，1）。 生：小白的位置用数对表示是（3，4），因为她在第3列第4行。
师：真不错。儿子还有一个要好的朋友叫小路，他的位置如果也用数对表示的话，应该是（5，3）。你知道他在哪儿吗？ 生：他在第5列第3行。 师：你是怎么找到的？
生：因为数对前一个数表示列数，后一个数表示行数。 师：掌握得确实不错。瞧，今天，咱们的座位也排得整整齐齐的，如果让你用数对来表示你自己的位置，行吗？
生：行！我的位置用数对表示是（5，2）。 师：第5列、第2行，她说得对吗？ 生：对！
生：我的位置用数对表示是（4，5）。 师：嗯，第4列第5行。
生：我的位置用数对表示是（1，1）。 „„
师：看来，自我介绍并不难。能用这样的方式介绍一下你最好的朋友吗？ 生：我最好的朋友，她的数对是（4，2）。
师：让我也来认识一下你的朋友，第2列、第4个。认识你很高兴！ 生：不对，弄错了，我说的是（4，2），不是（2，4）。 师：（4，2），（2，4），不都是这两个数吗，怎么就不对了呢？
生：前面的表示列数，后面的表示行数，所以谁在前谁在后很重要。交换位置后，相应的点就不同了。
师：看来，以后用数对确定位置时，这一点一定要弄清楚。（师重新找到（4，2）处）真正的朋友原来是你啊！ 生：我的朋友是（7，1）。 师：有谁愿意帮我找找她的朋友。 生：她在第7列第1行。
师：是你吗？（是）认识你很高兴！
四、练习巩固 师：下面，我想再提高要求，我直接报数对，请符合要求的同学迅速起立，看谁的反应最快。（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）。 (相应的五名学生一一起立) 师：奇怪，怎么就齐刷刷地站起来一队？ 生：因为你报的数对有规律。 师：是吗，说来听听？
生：这五个数对列数都是3，说明他们都在第3列，当然就站起来一队了。 师：说起来挺容易，如果也让你来出几个数对，你有本事也让一队同学站起来吗？（能！）谁来试试？
生：（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）。
师：不错！不过，有点依葫芦画瓢的嫌疑。有没有谁能说出点不一样的？ 生：（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）。 师：发现了什么？ 生：这回站起来的是一行。 师：有变化了。能说说为什么吗？
生：这回的五个数对虽然列数变了，但行数没变，所以站起来的自然就在同一行了。
师：真不错！不过，张老师觉得这还不算什么。说五个数对，站起来一排。要是我说，我只给一个数对，就可以请一队同学站起来，你们信吗？ 生：不信！ 生：不可能！
师：口说无凭，要不试试？（屏幕显示数对：（4，x））符合要求的同学请站起来。
(第4列同学陆陆续续站起来，教师面对第一名学生) 师：奇怪，我上面写（4，1）了没？ 生：没有。 师：那你站起来干嘛，还不坐下去？（生笑）
生：不对，（4，x）中的x是一个未知数，既可以表示1，也可以表示2，3，4等，所以我们都站起来了。 师：是这样吗？ 生：是！
师：瞧老师厉害吧，一个数对，就让一排同学站起来。 生：不厉害。我也会！ 师：是吗？谁来试试。 生：（x，4）。
师：换了个个儿，真能站起一队吗？来，符合条件的站起来。（第4行同学很快便站了起来）还真不赖啊！
生：老师，我还可让全班同学都站起来。 师：是吗？！越来越厉害了。试试？ 生：（x，x）。
师：来，符合要求的请起立（全班同学都站了起来）。嗯，让我来看看，当x等于1时，该谁站起来？（数对为（1，1）的同学举手示意了一下），不错！当x等于2呢？
数对为（2，2）的同学也示意了一下，此时，有部分同学开始犹豫，也有同学重新坐了下来。
师：奇怪，有人开始坐下去了。采访一下，你为什么又不站了？ 生：一开始我觉得（x，x）应该包含所有人，但现在看来，我不算。 师：不是说字母可以表示任何数吗，你怎么就不算了呢？
生：字母是可以表示任何数，但我发现，当x等于1时，只有（1，1）可以站，同样，当x等于
2、
3、4时，只有（2，2）（3，3）（4，4）等可以站，所以其他人都不能站。 师：说得有没有道理啊？ 生：有！ 生：我还有补充。虽然字母可以表示任何数，但两个相同的字母只能表示两个相同的数，这样的话，就不是所有人都能站起来了。
(此时，剩下的同学陆陆续续都坐了下去，只有符合要求的6位同学站着) 生：我知道了，可以用（x，y）。
师：这一回，符合要求的请站起来。（全班学生都站了起来）其实，有错误并不重要，重要的是要从错误中吸取教训，并对问题获得更深入的认识！
五、拓展延伸 （略）
告诉，亦可创造有价值的课堂
——苏教版小学数学第十册《用数对确定位置》教学实录
【教学目标】
1．在具体情境中，体会“用数对确定位置”规则的合理性，会根据相应规则，用数对确定平面内物体或点的位置。 2．感受数学思维、数学方法的严谨与美。
【教学过程】
一、激疑，引发思维碰撞
师：今天这节课，我们一起来研究一个既陌生、又熟悉的问题——用数对确定位置（板书课题）。为什么说这个问题既陌生，又熟悉？ 生：要说熟悉，是因为我们二年级的时候好像学过确定位置的。但那时候好像不是数对，而是第几排、第几个之类的。所以，数对对我们来说又很陌生。 师：为了让大家对这一问题有更深入的理解，今天，我给大家带来了一位神秘的嘉宾。（出示下图）猜猜看，会是谁呢？ 生：我猜是你孩子？
师：心有灵犀一点通！这么多孩子，哪一个才是张老师家的呢？是我来揭示谜底，还是大家先考验一下自己的眼力，大胆地猜一猜？ 生：猜一猜！
生：我觉得应该是第２组第２个，因为他的皮肤也有点黑。（生笑） 师：你很善于观察，而且对遗传学还有一定的研究。（生大笑）
生：我觉得可能是第４组第１个，因为我觉得张老师的爱人一定很漂亮，所有孩子也应该很漂亮。（生大笑）
师：谢谢你的祝福！哈哈，既有大胆猜测，也有合情推理，了不起！ 生：我觉得有可能是第３排第５个。
生：不可能！张老师那么瘦，儿子怎么可能那么胖？！（生笑） 生：老师，你能告诉我你家的是儿子还是女儿啊？ 师：这个问题暂时保密。
生：那你能告诉我，他（她）穿什么衣服啊？
师：嘿，那你还不如直接问我，他（她）在第几排，第几个得了。（生笑）怎么啦，遇到什么困难了？
生：光这样猜，很难猜中。你总得给我们提供点线索吧。
师：要线索是吧？没问题！张老师历来都是个慷慨的人。要么不给，要给就绝对给到位。要说张老师孩子在哪儿？很简单。如果这时候，有一个数学家就在我们课堂上，他除了用“第几排第几个”的方式告诉大家以外，还会选择这样一种更简洁的方法，来确定张老师孩子的位置。想知道吗？ 生：想！
师：那我就真写了。不过，写完以后，我得看看谁第一个找到张老师的孩子在哪里。 (教师板书：（４，２）。片刻安静后，有人匆匆举手，也有人私下里意见不和、争论不休) 师：怎么啦？有什么问题吗？我给出的，可是数学上最标准的答案了。 生：有问题！我们组的答案不统一。 师：是吗？说来听听！
生：我和同桌觉得是那个女孩（第４组第２个），因为我们觉得，这里的４应该是第４组，２应该是第２个，而这个女孩正好满足条件。所以我们觉得她就是你女儿。可是，他们俩不同意，他们认为应该是那个男孩（第２组第２个）。 师：你听过他们俩的想法吗？
生：听过，他们说，这个男孩也在第４组第２个。不过，他们是从右往左数的。 师：噢，原来是方向上出现了分歧。还有哪些同学也找到了这两个答案的，举手示意一下。（80%左右的学生举手示意）只有这两种观点吗？ 生：我觉得还可能是后面那个女孩（手指第４组第４个）。 师：猜一猜，他又是怎么理解这里的（４，２）的？
生：我想，他可能觉得这里的４表示第４组，１-２-３-４，２表示的是第２横排，只不过他可能是从后往前数的。
师：（面对前一位发言者）你是这样理解的吗？ 生：是的。
师：还有不同的理解？
生：还可能是第２组的那个女孩。因为如果我们从右往左数，她正好在第４组；如果我们再从后往前数，她又正好在第２排。
师：看来也能自圆其说哦。现在，一共有四种不同的答案了。还有别的吗？ 生：没有了。
(综合上述发言，教师呈现如下画面)
二、对话，建构“数对”规则
师：奇怪！我给出的是数学上最标准的答案，可同学们却给我找到了四个不同的答案。难不成张老师会有四个孩子？（生笑） 生：不可能！
师：那么，之所以出现这样的问题，你们觉得是自己没有想清楚，还是张老师没有说清楚？
生（异口同声）：张老师没有说清楚！
师：哈哈！你们倒好，遇到问题，不先从自己身上找原因，责任全推我身上来了。 生：的确是你没有说清楚啊！
师：那好，如果真觉得是我没有说清楚，那你们说说，是我哪儿没有说清楚？组内商量一下，并给出你们的见解。 学生组内商量，质疑老师表达的漏洞。
生：我们组一致觉得，老师你光说（４，２）是不够的„„ 师：纠正一下，是数学家说的。
生：哦，我们组一致觉得，数学家光说（４，２）是不够的，也是不准确的（生笑）。因为他们没有说清楚，这两个数到底哪一个是横排，哪一个是竖排。 师：胆子不小，不光要质疑我，还质疑起数学家来了。（生笑）还有哪个组有补充？
生：我们觉得，数学家还需要说清楚，横排究竟该从前往后数，还是从后往前数，竖排究竟要从左往右数，还是从右往左数。如果方向不确定，答案还是没法确定的。
师：现在看来，光有这两个数组成的数对是不够的，我们还得弄清两个关键问题，一个是顺序（板书：顺序），也就是哪个数是横排，哪个数是竖排；另一个是方向（板书：方向），横排或竖排究竟从哪儿数起。对吗？ 生：对！
师：不过很遗憾，这两个问题，我都不想直接告诉你们。不过，我可以透露一下，我孩子最要好的朋友小邓，他所在的位置如果也用这样的数对来表示的话，应该是（2，1）„„
(稍作观察后，很快便有学生按捺不住自己的发现，开始举手) 师：别着急，把你的发现先在组内说一说。 (学生组内交流，随后全班反馈) 生：张老师，我们发现你女儿了，她在那儿（手指第4列第2个）。 师：都同意他们组的发现吗？ 生：同意！
师：能说说都是怎么发现的吗？
生：你们看，小邓的数对是（2，1），而他正好在第2竖排、第1横排。所以我们发现，数对前一个数表示的是第几竖排，后一个数表示的是第几横排。而你孩子的数对是（4，2），说明她在从左往右第4竖排，从前往后第2横排，所以她就是你女儿！
师：同意他的观点吗？
生：同意！不过，我还有补充。数竖排的话应该从左往右，数横排的话应该从前往后。
生：我也有补充。横排还可以叫行，竖排可以叫列。 师：你是怎么知道的？ 生：我是听我爸讲的。 生：我是刚刚从书上看来的。
师：呵呵，动作还蛮快的嘛。的确，数学上，竖排也叫列，横排也叫行。现在，你能用行和列来说说数对中的这两个数，分别表示什么意义吗？ 生：前一个数表示列，后一个数表示行。
生：确定第几列应该从左往右，确定第几行应该从前往后。
师：现在，你能带领大家按照这一规则，具体数一数、说一说，为什么（4，2）确定的这个人，就是张老师的女儿？
生：4表示第4列，我们可以从左数起，第1列、第2列、第3列、第4列。2表示第2行，我们可以从下数起，第1行、第2行。所以，（4，2）就是你女儿。 师：假如，我只给你列数，你能确定她的位置吗？只给行数呢？ 生：不行。只给列数，我只能确定他（她）在第几列，但至于是哪一个，就没法确定了。只给行数也一样，也只能确定他（她）在哪一行，至于是这一行中的哪一个，同样没法确定。
生：我还有一个发现。就好比说，列数是一条竖线，行数是一条横线，一竖一横正好相交，而交叉点上就是需要确定的那个位置。 师：多形象的描述！这倒让我想起了„„ 生：步枪上的瞄准器。
师：如果瞄准器上不是十字交叉，只是一条横线或竖线，还能帮助我们瞄准吗？ 生：不能！
师：现在，你有没有明白，为什么确定平面内某一人的位置，需要两个数。 生：明白了。一个数是用来确定列数的，一个数是用来确定行数的。列数和行数，就像两条相交的线，共同锁定了一个点。
(结合学生的发言，教师给出下图，以印证学生的观点) 师：像这样，用列数和行数所组成的一个数对来确定位置，就是我们今天所要研究的内容。刚才，同学们错把另三个同学当作我的孩子。现在，掌握了用数对确定位置的方法，你知道他们的位置又该用怎样的数对来表示吗? 生：他们所在的位置如果用数对表示，分别是（2，2）、（2，4）、（4，4）。 师：你能选择其中的一个，说说理由吗？
生：我选第一个，因为他在第2列、第2行，所以用数对表示是（2，2）。 师：这个数对很有意思—— 生：两个数都是2。 师：表示的意思一样吗？
生：不一样。前一个2表示列数，后一个2表示行数。 师：这样看来，同样一个数，在不同的地方就表示不同的含义。
生：我选第二个，因为她在第2列、第4个，所以用数对表示是（2，4）。 生：我选第三个，因为她在第4列、第4个，所以用数对表示是（4，4）。而且，这两个4表示的意思也不同。 师：再来看这两个数对，（4，2）和（2，4），有什么发现？ 生：所用的两个数完全相同，但它俩的位置却不同。 师：知道是为什么吗？
生：因为它们所在的位置不同。（4，2）表示第4列、第2行，而（2，4）则表示第2列、第4行。两数位置一换，意思就完全不同了。
师：所以，用数对确定位置时，我们尤其需要弄清先列后行的规则。
三、巩固，形成基本技能
（略，参见《让儿童“创造”属于自己的知识》一文本环节设计）
四、质疑，拓展思维空间
师：关于用数对确定位置，还有什么问题吗？或者，还有没有什么新的联想、新的发现？先独立冥想，再把你的问题或发现在小组内交流。 （学生组内交流，随后全班反馈）
生：我想问一下，除了像教室里的座位，还有什么地方也需要用数对来确定位置？ 师：很有价值的问题！有谁能解答他的疑惑？
生：我觉得地球仪上就有数对。经线就像是列，纬线就像是行。
生：我觉得围棋棋盘上也有数对。比如，我们老师曾讲过“三三点”，现在我知道了，它其实就是指第3列、第3行的那个点，也就是我们今天讲的数对（3，3）。 生：是的，围棋棋盘的周围好像都有数字，我觉得这些数字就是用来帮助我们用数对确定每一步棋的位置的。
生：不光是围棋，中国象棋或者国际象棋上，也有类似的数字。好像国际象棋上一侧写了数字，另一侧写的是字母。这样，一个数字、一个字母，合起来也可以组成一个数对，而且是一种杂交数对（生笑），这种数对也可以帮助我们确定位置。
（结合学生的交流，教师现场利用网络，调出国际象棋和中国象棋的棋盘图片，以印证并丰富学生对上述观点的感受） 生：其实，不只是棋盘上能够用到数对，我还知道，电影院的座位用的也是数对。 生：不对，电影院的座位上没有数对。
生：有！比如第4排第2号，其实就是一个数对。只不过，它把行数放在前面，列数放在了后面。
师：受你的启发，我觉得未来电影院的座位，没有必要写那么复杂，直接用一个数对来表示就行了。你们觉得行吗？ 生：行！只要规则大家都清楚就行。
生：航班上的座位，好像也是用数对来表示的。比如，我有一次正好坐在飞机第1排靠窗的第1张座位上，我的登机牌上写的就是1A。我觉得，前面的1表示的是第1排，后面的A表示的是第1个。
师：那么，如果是第2排第3个、第7排第4个呢？ 生：应该是2C，7D。
师：真了不起！当然，大家也一定发现了，航班上的数对，和我们今天研究的数对，有相似的地方，也有不同的地方。
生：相同的是，都是用两个东西确定位置。不同的是，数对用的是两个数，而航班上的位置，用的是一个数字和一个字母。
生：刚才的国际象棋棋盘上，用的也是一个字母、一个数字。
生：而且，今天研究的数对，列在前、行在后。而飞机上的“数对”，则是行在前、列在后的。
师：从座位图中的数对联想到了生活中的数对，相信大家对数对的认识更丰富，也更全面了。对于数对，还有什么问题需要深入研究吗？ 学生初无疑问，组内深入交流后，渐有人举手。
生：我们组提出，数对为什么要规定列在前、行在后。如果倒过来，行在前、列在后，可不可以？
师：有谁愿意试着解答他们的疑惑？
生：我觉得没什么不可以。如果规则换过来了，那么把数对中的两个数也换个位置就行了。
生：我觉得不可以。如果一会儿行在前列在后，一会儿又列在前、行在后，这样不就乱了吗？ 生：我说的是，统一改成行在前、列在后，而不是变来变去。
师：看来，有一点是达成共识的，也就是说，不管规则怎么定，但定下后就不能变，要一直遵循统
一、固定的规则，对吗？ 生：对！
生：我觉得不能变。数学家最终确定了先列后行，一定是有他们的考虑的。 师：你的直觉很棒！数学上的很多规定，看起来都是人为设制的，好像很随意。但有些的确是有它的道理的。至于数对中为何要先列后行，到了中学，研究了平面几何以后，大家可能会对这一问题有更深入的思考。还有什么新的问题吗？ 生：有没有3个数组成的数对？
师：从“2”想到了“3”，这是一种极有价值的突破，掌声先鼓励一下！（掌声）你们觉得有没有？
生：我觉得没有，因为无论什么情况，有两个数，就可以确定某个人的位置了。 生：我也觉得没有。因为一个“十”字叉，一定可以锁定某个点的位置，我从没看见枪上的瞄准器上，有三条线组成的准星呢。
生：我不同意！我觉得有可能需要三个数，因为我们生活的是三维空间。（此语一出，全场愕然！）三维空间，当然需要三个数。 师：能举个例子吗？ 生：„„
师：需要我来支持一下吗？ 生：嗯。
师：见过魔方吗？（见过）如果要确定其中某一块的位置„„
生：哦，我明白了！魔方一共有好几层，先要确定它在第几层，然后再确定它在第几列、第几行，这样正好需要3个数。 生：但是，我们觉得4个数就不可能了。
生：我觉得可能，还可以加上时间啊！（全场侧目）
师：呵呵，看来，用数对确定位置，已经引发了大家全面、深入的思考。有没有答案并不重要，关键是，大家可以沿着自己给出的猜测，查一查资料，问问爸爸妈妈，相信大家会对这些问题有更深入的研究。
