二项式定理问题的求解策略

二项式定理的常见问题及其求解策略

济宁一中高一数学组

贾广素 王艳英(邮编：272000)

电话：13053744397 二项式问题是历年高考必定考查的内容之一，这部分题目的难度不大，但需要一定的技巧和和求解策略，才能快速求解。本类题目首先需要明确研究的对象，即明确所要研究的是二项式系数还是二项式展开式中某项的系数，从方法上来讲，主要为公式法、性质法和分析法等。下面就通过二项式定理中经常出现的问题谈一谈这类题目的解法。

一、求展开式中的指定项、指定项的系数及常数项问题

此类问题的求解关键在于求出r的值，也可以说是求出指定项是第几项。

1例

1、x展开式中间的项是__________。

x分析：由二项工系数的性质知，若求展开式的中间项，只需判断幂指数的奇、偶特征即可。因为2n是偶数，所以展开式的中间式是第

n2n2n2nn。根1项，此时r22据展开式的通项公式知：T2nnnn1nnC2x(1)Cn2n。

x例

2、在x3610的展开式中，含x项的系数是(

)。

4646A、27C10

B、27C10

C、9C10

D、9C10 解：Tr1r10rC10x3r0,1,2,,10，令10r6得r4，

r 含x项的系数是C10(10644，故选D。 3)49C101例

3、x的展开式中的常数项是_________。

3x解：rTr1C10x10r5r1rr3C101x6r0,1,2,,10，令

xr55665r0解得r6常数项为T7C101210。

6二、近似计算问题

解决此类问题要注意题目要结果精确到什么或保留几位有效数字，以便考虑最后一项的取舍，一般要四舍五入。求数的n次幂的近似值 时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。

例

4、求3.0026的近似值(精确到0.001)

6解：原式=(3+0.002) =366350.00215340.002220330.0023

7292.9160.00486731.92086731.921

三、整除与求余问题

此类题目往往考虑用数学归纳法证明，但是步骤较为繁琐，而用二项式定理证明则显得更为简捷。

例

5、利用二项式定理证明：当nN时，32n28n9能被64整除。

证明：32n28n99n18n9(81)n18n9

1n2n1n12n8n1CnCn18Cn1818Cn1818n9 1n223n182（8n1Cn。 Cn1818Cn1）1n223n1而8n1CnCn1818Cn1N

32n28n9能被64整除。

例

6、求C33C33C33C33除以9 的余数。

解：由于C33C33C33C33=23318111(91)111

1210=911C9910C999C11911 1210=9910C999C998C112 1233312333所求的余数为7。

四、证明有关的不等式问题

有些不等式可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小），或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。

1例

7、求证：213n2。

n证明：当n2时，

n1210112n1n0111CnCnCn()Cn()CnCn2。

nnnnn110112n1n又1CnCnCn()2Cn()

nnnn＝2nn11112(1)(1)(1)3 2!n3!nnn 不等式211n3n2成立。

五、利用赋值法求各项系数的和的问题

例

8、设(1xx2)na0a1xa2x2a2n2nx

求a1a3a5a2n1的值。

解：令x1，得a0a1a2a2n3n ①

再令x1得a0a1a2a3a2n1a2n1 ①－②可得a3n11a3a5a2n1＝2。

②。

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