“小学数学开放题的教学研究”的结题报告
一、问题的提出
我们所谓的开放题，国外叫做“open—ended problem”,即开放结果的问题。对此国内的说法很多。归纳起来大致有下面四种：结论不唯一的题是开放题；条件不完备或结论不唯一的题是开放题；条件不完备、结题策略多样、结论不唯一的题是开放题；解决方法不唯一的数学题是开放题。
本课题组认为，不应该狭义地去理解数学开放题。因为数学开放题是直接针对课堂教学改革而提出的，在研究数学开放题时应更多地考虑教学因素。因此，本课题组比较赞同第四种说法。因为它不仅仅考虑题，更重要的是考虑人，也就是说，他从数学和教学两个方面来规定数学开放题。
在国外，数学开放题的教学已经进行了二十几年。60年代技术革新导致西方各国对人材质量提出更高的要求。具有创新精神和创造能力成为高质量人才的新标准。为了培养人才，各国政府纷纷对教育进行改革。从数学教育的内部来看，“新数运动”的全面失败迫使各国寻找数学教育的新出路。1971年，日本一个27人的学者群体率先研究数学开放题的教学问题，并于1977年发表了名为《算术、数学课的开放式问题改善教学的新方案》的报告，此事引起了世界各国的重视。欧美各国相继开展数学开放题的教学研究。美国中小学教材中有相当多的数学开放题。1980年我国首次有人介绍数学开放题。随着数学开放题成为中考和高考的新题型，研究数学开放题的人越来越多。但是，对于数学开放题的理论与实践基础，开放题教学的实质等理论问题，还未取得共识。对于如何处理开放题与封闭题相结合的关系，教师在课堂中如何进行开放题教学，编写开放题的原则等实践问题，还未形成一个立论点高，立法程序明细合理的基本思路。
进行小学数学开放题教学的研究是十分必要的。因为：
1、我们的教育对象都是三至十二岁的小孩子。孩子的事业在未来。也就是我们的工作对象都具有未来的性质。未来是充满开放性和不确定性的。既然我们的工作对象具有开放性的特点，我们就应该有开放的态度。用开放的方式来教导他们。当我们认识到问题的实质之后，仍然固守封闭的思想，仍然僵化的教学方式，那将是一种不负责任的行为。
2、数学的特点也是开放的。他是人类的一种创造性活动。包含有错误、尝试和改进的过程。它必然处于不断的发展变化之中。
3、1999年6月13日《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》指出：“智育工作要转变教育观念，改革人才培养模式，激发学生独立思考和创新的意识，培养学生科学精神和创新思维习惯。”这就是说，创新教育已经在我国纲领性文件中明确规定下来。数学创新教育的模式怎样呢？人们仍在不断探索。当前，数学教育倾向于认为开放式数学教学是培养学生创新精神和实践能力的一种较为有效的教学模式，然而脱离了数学开放题，也就谈不上数学开放题教学了。
鉴于此上原因，我们确定了\"小学数学开放题教学的探究和实践\"这一课题进行研究。
二、研究的目的及意义
（一）研究目的
通过实验研究，探索小学数学课堂教学过程开放、设计和使用开放型练习题，促进数学课堂教学模式的改革；为学生创设良好的数学课堂教学环境，创设主动参与的时间与空间，培养学生主动探索数学的兴趣爱好，培养学生肯钻研、善思考、勤探索的科学态度，让学生在不断探索与创造的氛围中，创新精神和实践能力的培养得到落实。
（二）研究意义
1、数学开放题教学有利于发掘每个学生的数学潜能。
2、数学开放题教学有利于学生更多地交流与合作。
3、数学开放题教学，有利于满足学生的心里需求。这些需要包括：求知的需求、参与的需要、交流的需要和自尊的需要。
4、数学开放题教学有利于培养学生的创新思维。数学开放题教学，特别是其中的解题教学，非常适合培养学生的发散思维、直觉思维和逻辑思维，而这些都是创新思维的基本组成。
三、研究原则
１、创新性原则。要实施开放题教学的探究，教师首先必须更新自身陈旧的教育观念，勇于创新，勇于突破传统教学的种种束缚。
２、主体性原则。教师要树立“以人为本”的思想理念，在研究过程中充分发挥学生的主观能动性，把主动学习的权利还给学生，努力为学生创设一种开放民主的教学场所，使学生真正成为探究问题的主人。
３、开放性原则。在研究过程中，教师既要培养学生的个性，又要兼顾到学生的学法，教学环境，教师要承认学生间存在的差异，要因材施教，最终达到“不同的学生学习不同的数学的目的”。
４、激励性原则。教师要把握好激励性原则，让学生学会探索问题、解决问题的能力，树立积极向上的情感，磨练学生坚强的意志，提高需要的层次，使学生时刻都体验到成功的喜悦。
四、研究方法
研究方法主要有文献分析法、调查法、试验法（在我校6年两个班开展研究。以学期为单位，在试验基础上进行专题研究）、经验总结法和行动研究法。
五、研究与实验的过程
本课题从2008年6月开始，到2009年8月结题
1、准备阶段：（2008年6月――2008年10月）
确立研究课题，成立课题组；建立学习制度，收集学习研究有关资料，提高思想认识；制定课题研究实施方案进行尝试性研究，作好课题研究的前测对比。
2、实施阶段：（2008年11月-2009年6月）
按照实施方案有序地展开研究，同时搜集相关资料，分析整理搜集的资料，进行中期汇报，在此基础上调整实施方案，修正子课题计划，继续进行课题研究。
3、总结阶段：（2009年7月-2009年8月）
继续进行课题研究，积累汇总研究资料，准备撰写子课题论文；撰写结题报告，做好结题工作，全面展示课题研究成果，为成果鉴定作好充分准备。
4、回顾本课题的研究过程，为了扎实有效地开展课题研究，组织开展了一系列活动，组织教师认真学习有关理论，课题组进行了多次会议，写下了教学心得体会和教学笔记。林世香老师、金志研老师等分别举行公开课。举办各种竞赛，组织课题组的部分成员外出听课学习等等。
5、组织教师学习教育理论，更新教育观念，树立科学的育人观，树立正确的学生观，打破传统的教学观念，教学模式的束缚，树立现代教学观和科学教学质量观。
6、结合本课题的研究方案，明确课题研究的意义，参与实践的教师多次组织参加相关活动，同时加强交流，写好案例分析，心得体会等文章。
7、学校对教科研论文、课题的获奖的不同级别作了相应的奖励规定。还将教科研工作考核作为名师评选、职称评定、职务晋升、教师聘任的重要条件。
六、研究与试验成果
（一）、开放题教学模式的几个特征
1、朋友型师生关系是开放题课堂教学的重要特征。课堂教学从封闭走向开放，使教师与学生的心理空间由封闭到开放；教材的知识空间与学生的经验空间由封闭到开放；课堂学习的空间与学生课外的生活空间由封闭到开放。教师成为学生学习的支持者，确定资源分享的朋友型师生关系。
2、学习材料的来源多样化，活动成为学生参与学习的主要形式。在课堂学习中，学习材料的丰富效果非常直接，学习材料来源也是单一的教材，而更多的是学生的生活材料。
3、学习乐趣的享受成为主要学习动力。积极的自我激励成为评价的主流。以前我们把分数作为学生学业评价的主要形式，自从把百分制改为等级制之后，虽然在一定程度上模糊了分数的重要性，但其实质并没有发生显著变化。从教师角度来看，评价的目的是为了激励学生的进一步学习。开放教育的特点就是充分体现学生的内在激励，加速了学生动力结构的发展过程。学生的主体得到了充分尊重，在自主活动中获得了一种自由，学生可以在教师面前随意表达，真正体会到学习过程中开放的快乐、交流的快乐，这种快乐使他们体会到了学习开放题的魅力是无穷的。
（二）开放教育实践的几种形式
1、条件开放
学生通过对题目先从不同的角度补上条件，然后解答。这种教学一般在应用题教学中较为常见，如要求学生补上一个条件使之成为
二、三步计算的应用题：某化肥厂，去年生产化肥4000吨，＿＿＿＿＿＿，今年和去年一共生产化肥多少吨？这一题补充方法很多，学生可以根据自己的能力，补上各种各样的条件，然后解答出来。
2、问题开放
在相同的条件下叫学生补上问题，补上不同解法的问题，如：两个修路队，修一条公路，甲队修800米，乙队修850米，＿＿＿＿＿＿？学生可以补上“甲队修的是乙队的几倍？（几分之几、百分之几）” “乙队修的是甲队的几倍？（几分之几、）”、“两队共修有多少米？”、“两队相差多少米？”、“甲队比乙队少修几分之几？（百分之几）”“乙队比甲队多修几分之几？（百分之几）”、“甲队修的是甲乙两队共修的几分之几？（百分之几）”„„等等。
３、答案开放。
一题有多种答案，甚至有无数多个答案，而且大部分的题目，在解出不同结果的同时能总结出解题规律。如：一条道路长１千米，在道路两旁植树，要植树多少棵？这里要根据自己植树的株距来确定植树的棵数，答案有无数个。又如：“小数变身”，用
2、
3、4和小数点能组成哪些不同的小数。通过学生的讨论，得出十几个满足条件的小数（2.34 3.24 4.23 3.42 4.32 2.43 24.3 43.2„„）但对满足条件的小数进行归类，具体有两类：一类是一位小数，另一类是两位小数。
４、解法开放
一道题目往往有多种解法，繁简不等。一题多解就是启发学生根据题意和数量关系，应用已学习和掌握的知识，不拘泥、不守旧、打破一般的框框，去进行灵活的思维，别出心裁，另辟蹊径。在教学过程中，设计一题多解的方法，有利于学生开宽视野，如一个工程队铺一条公路，前４天铺了２００米，照这样的速度计算，１６天全部铺完，这条公路长多少米？学生根据不同的解题思路，可用归一法，倍比法，比例解等等，得出多种解法，但得出的结果是相同的，可使学生运用不同的解法来检验答案是否正确的，从而培养学生解题的正确率。
５、解题策略开放
解答问题的方案有多种多样，可以使学生能更好的得到思维训练。如在教学一年级“认识人民币”的练习中，教师拿十元币两张，五元币两张，两元币两张，一元币五张，五角币五个，两角币五个，一角币五个，现在要买38元6角的书包一个，你用什么方法去买？这样有几种买法？又如，学生用３０元钱到商店里买东西，有牙膏每支６元，八宝粥每听８元，钢笔每支８元，笔记本每本2元，你打算买什么物品，到底买多少？应找回多少钱？在实际生活中学生采取的策略，进行开放题训练，这样提高了学生解决实际问题的能力。
（三）开放题教学的实践效果
1、培养学习兴趣，激发学生的想象力
兴趣是一个人力求接触和认识某种事物的意识倾向，是学生产生学习自觉性的内在动力。兴趣愈浓，观察、思维、记忆等多种智力活动愈有成效。“兴趣”是最好的教师，“想象力”是创造的灵魂。当学生有兴趣去学习某一知识，那么学起来就会事半功倍，开放题教学培养学生兴趣尤为重要，学生的兴趣提高了，想象力也随之愈来愈丰富。如：“奇妙的四位数”，在四位数中，有些数满足各位上的数的积等于这四个数中的一个。如：1119，1×1×1×9=9，你能写出这样的四位数吗？试试看。学生通过思考，乘积不是0的情况下满足条件的四位数共有1+4×8=33个。
2、拓展解题策略，增强学生合作精神
开放题教学，从条件到问题思路都是多样性，丰富解题策略，重视过程的研究，在得到答案的同时，学生爱问“为什么”，还有什么方法，在问的过程中思路就广阔了，创造性思维孕育而生，学生探究的本领得到提高。开放题教学采用的形式是多种多样的，如：小组讨论、集体讨论、师生互助等活动。这样为学生提供了广阔的交流空间。学生学会了主动适应群体或团体的学习、生活，学会与人合作、与人交流，在合作交流过程中学会评价和自我反思。切实为他们今后的学习生活作好了充分的准备。
3、拓宽学习空间，培养学生创造精神。
传统的数学教学，学生对知识的学习大多拘泥于学“答”，使学生以为数学只是书本上的题目，枯燥无味。开放题教学，引导学生冲破常规，对产生问题的可能性进行多侧面、多角度的思考，引导学生从不同的角度去寻求不同的解法，想出不同寻常的答案，“让学生带着教材走向老师，走向生活”，为培养学生的创造精神提供广阔的空 间。如手机、计算器、电子秤等上面的数字按钮往往排列为：
9
取其中三个数字组成三位数，差是198的例子。引导学生（1）每行的三个数字，从左到右及从右到左，组成两个大小不同的三位数，它们的差是198，（321-123=198，654-456=198）。（2）对角线上的两个三位数的差是198，（357-159=198，951-753=198）。（3）三角形两个三位数的差是198。（4）十字形上两个数的差也是198，（456－258＝198）。
4、推进素质教育、全面提高教学质量。
教育是未来的事业，今天的教育是为了明天的建设服务的，社会需要人才是多种类型，多种规格，多种层次的。运用开放题教学促使学生探索问题，培养创新精神。
（四）理论思考
1、常规教学能够与开放题教学相结合；
2、常规教学必须要与开放题教学相结合；
3、开放题教学必须在常规教学的基础之上进行。
4、编写开放题的方法： （1）类比编制
用类比编制数学开放题，就是根据已知的某个开放题的结构或某种现象的特点，运用类比的方法编出新的数学开放题。常用的有以下几种类比的思路：
A、数与数的类比: 在小学数学中，整数、小数和分数，在计算方面有着许多共同的特点。在编制数学开放题时，可以运用它们的共同属性，进行相互类比。如：(1)整数与小数类比；(2)整数与分数类比；(3)小数与分数类比。例:求三个数的和。
求出图1中三角形三个顶点上数的和。
[分析与参考答案]
在图1中，小的三角形有四个，大的三角形有一个，共有五个三角形，相应的五个算式是：2+3+6=11，3+6+7=16，8+3+7=18，6+7+1=14，2+8+1=11。
如果把例2中的数换成小数或者分数，就可以得到新的开放题
B、形与形的类比
不但数与数可以类比，形与形也可以类比。形与形之间主要是线、面和体的类比，具体地说：(1)线与面的类比；(2)面与体的类比。
例:下图中有许多线段，有一些线段包含CD，请你写出包含CD的线段。
这是一个关于线段的开放题，可以类比出下面这个关于面的开放题：
带圈正方形：
在3×3的方格纸中，可以找出许多正方形，下图中有一个圆圈“○”，请你把所包含这个圆圈的正方形涂上阴影。
C、文学与数学的类比
文学与数学看上去似乎毫不相干，其实它们常有着许多的相似之处，运用这些相似，利用文学中的某些词或者句子的结构就能类比出开放题。
例
3、写出回文数。
“牙刷刷牙”这句话从左往右读和从右往左读完全一样。717这个数从左往右读和从右往左读也完全一样，请你写出满足从左往右读和从右往左读一样的三位数。
[分析与参考答案]
在3×3的方格子中，边长是1的正方形有9个，显然最中间的这一个小正方形包含圆圈，如图(1)。边长是2的正方形有4个，边长是3的正方形有1个，这些正方形都包含圆圈，如图(2)至图(6)。
(2)变封闭题为开放题
A、将封闭题适当改变条件或问题使之成为开放题。 B、将封闭题增加多余条件使之成为开放题。 C、删除封闭题的条件或问题使之成为开放题。 （3）结合学生生活实际编写开放题。
（五）开放题教学的体会
小学数学开放题教学的探究和实践，能更好地发挥学生学习的主动性，极大地激励学生学习的积极性，使学生感到开放题新颖亲近，变得摸得着、看得见，易于接受，从而激发学生内在的认知需要，变“要我学”为“我要学”，教师利用学生已有的生活原型联系实际学数学，实现了“数学教学法生活化”，真正让学生把知识用于生活，提高了应用能力，达到学而之用的效果。开放题教学能全方位培养学生的创造能力，更好地满足了学生的心理需要，更好地启迪了学生的思维，更好地拓展了学生的空间，使学生的创新意识和能力得到较好的培养。
经过这三年的实践和研究，我们看到许多方面在发生着悄然变化：
1、建立了民主、平等、和谐的师生关系，使学生得到生动活泼、主动的发展。
教师开放的教学观，注重发展的教学评价为学生创设了一个没有束缚的、充满民主、和谐、平等、自由的学习氛围，使学生成为课堂的主角。在教师亲切的眼神、会心的微笑、生动的语言中学生感受到学习的愉快，感受到爱和尊重、乐观和自信，也敢于发表自己的见解、提出自己的观点，从而能大胆探索。我们曾对学生作过一些问卷调查。从调查情况来看，多数学生对学习数学充满信心；在学习中，学生的个性、想法多数能得到老师的尊重；遇到困难时，一般能想到向老师、同学、网上求助；与数学老师的关系多数良好；有的还对老师提出了一些希望和建议。
2、培养了学生的非智力因素，促进学生全面发展。
开放性教学打破了师道尊严，讲究师生平等，教师对学生的思维预先设置的限制减少了，便于学生充分发挥自己的个性，为学生提供了具有开放性和选择性的发展空间，有利于促进学生的兴趣、动机、情感、意志、性格等非智力因素的健康发展。多数学生在课堂上情绪高涨，思维敏捷、想象力丰富，学习积极性和主动性得到了充分发挥。如在学习《认钟表》时，学生对钟表有了一定的认识后，教师让学生画钟表，画着画着有的学生哼起了歌，几分钟后，一幅幅作品展现在大家眼前。
3、学生的创新意识和创新精神得到了培养。
在开放性教学中，教师不仅接受学生提出的不同见解，并且鼓励用不同的方法来解决问题。学生在适宜的学习环境中大胆质疑、热烈讨论、合作学习、情感交流、思维碰撞、积极探索，敢于标新立异，在参与学习的全过程中创新意识和创新精神得到了充分发展。如在填数：＿、＿、＿、
9、＿、＿、＿。学生从一个一个地顺着数和倒着数来填；有的从单数来考虑顺着数、倒着数；也有的学生三个三个来顺着数、倒着数；更有学生想到这样填：
1、
4、
5、
9、
14、
23、37。在教学中，有许多精彩的意外让教师始料未及。
4、学生的思维品质得到了锻炼。
开放性教学不仅要解决开放性的问题，也表现在问题解决策略的开放性。学生在探索多种结果和解题策略的过程中，培养了思维的广阔性；开放性问题大多能进一步引伸、拓宽为新的问题，学生在探索出一些结论后，还能进行较深层次的分析，发现隐含的结论和更一般、内在的规律。这样，学生思维的广阔性就得到了发展。在问题解决的过程中，学生的独立思考和相互讨论、辩论，培养了他们思维的灵活性和批判性。这些均有助于培养学生良好的思维品质。这三年来，五所学校的十个实验班在三次房山区统一抽测中数学平均分都在95以上，名列房山区前茅。中考成绩总计4名学生考入市重点中学，15名考入良乡附中，23名考入良乡一中。高考成绩7人考入重本。
5、促进了教师教学方式的改变和学生学习方式的变革。 在实践中，我们所倡导的一些基本模式正是体现以学生为主体，以思维训练为主线，以探究为主的思想。我们根据学生的学习、生活活动为线索来设计教学；强调小组合作学习；加强动手操作；重视情景的创设、氛围的营造；充分发挥现代教育媒体的优势；重视教、学过程的互动；特别是实践活动的组织和实施。如六年级学习统计后，组织开展《假日小队》，分小队去了解统计家庭中家用电器、交通工具使用情况、街头广告中常用错别字出现情况等。学习利率之前，指导学生去银行采访了解相关情况，获得教材中所没有的信息。学习百分数后，在生活中收集百分数应用的资料，到商店去了解打折等知识。围绕某一个主题试写小论文、编写数学墙报、手抄报„„在社会调查、实践活动中，让学生学习“活”的数学，开拓了学生的视野。
6、通过研究与实践，造就了一支年轻的具有现代教育意识的科研型、创新型的教师队伍。
在实践和研究中，老师们积极参与教科研工作，他们主动学习教育教学理论，钻研教材和教法，互相交流经验，积极探索课件的制作，形成了良好的教研氛围。通过研究课、试验课、观摩课等，提高教师的教育教学水平，在各级各类比赛中脱颖而出。
七、研究后的一些思索：
1、“开放”的程度控制要突出学生的主体性，同时不能脱离教师的指导作用，两者不能偏废。开放性的课堂教学是以学生为主体的教学，较传统教学的师生关系结构发生重大变化，教师的指导形式在开放性的课堂教学中相对隐蔽，因而这样的控制难度相对更大。在教学中，要发散学生的思维，又要择优，要组织讨论，又要防止喧闹、防离题„„把握这些开放的度，需要教师要有熟练的驾驭课堂的能力。
2、要处理好课堂教学模式与开放性教学之间的关系，争取最佳效果。开放性的课堂教学没有固定的程式，因此教师在教学中要把握课程标准，吃透内容，并结合具体的课时内容进行选择、拓展。
3、开放题只是开放性教学策略的一种载体，一题多解、一题多问等只是一种形式，目前没有形成系统，需要教师在实践中有意识的进行探索。特别是课改之初，现行三至六年级的教材中有许多内容滞后于新课程的教育理念，需要教师把握好教材内容的开放度。
4、数学教学中开放性教学策略运用的宗旨是教会学生思索，培养学生的数学素养，发展学生运用所获得的知识的能力，应当强调让学生积极主动地通过自我发展、自我实践去获得能力。如果学生能够把知识真正内化到自身的认知结构中去的教学策略，才是最有效的。
5、开放性的教学主要是为学生的自主探究提供一种时空，而探究性的学习与接受性学习并非相互对立、排斥，在更新教学观念时要防止对接受学习的全盘否定。事实上，开放性、探究性学习只是有效学习方式之一，教师对其应有正确的认识，不能把其视为唯一的有效学习方式。在教学实践中不可能一点不讲授。在研究中必须保持科学严谨的审慎态度，防止走极端。
6、由于研究的时间比较短，在新课改的教育理念下开展研究的时间更短，因此，深入的不够。为了更好的开展新课程实验，为了更好的开展新课程实验，我们在学校的主课题中确定了下期研究目标：小学数学开放性探究性学习课程特征及其策略研究。
参考文献：
1、皮连生的《学与教的心理学》
2、任璋辉的《数学思维论》 3.戴再平《如何编写开放题》 4《小学数学教育》2003年第5期
