新人教高中数学必修5 教案全集
数学必修5 模块的教学研究
一．教学实录
高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为 未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下。 1．获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了 解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。 2．提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 3．提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交 流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
4．发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和 作出判断。
5．提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 6．具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判 性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义 和历史唯物主义世界观。
本册教科书包括“解三角形”、“数列”、“不等式”等三章内容。全书约需36 课时， 具体课时分配如下：
二.模块试卷的命制目的及试卷分析。
[模块试卷样本]：
海口市一中2004-2005 学年度
答案
二、填空题
10．在△ABC 中,a=3 2,b=2 3, cos 1 3 C= ，则ABC S = △ _______ 11．在等比数列12． 1 1 1 { } n a 中, 1 a =2， 3 a =8，则6 S =_______ 1 2 2 3 3 4 + + + × × ×
„„ 1 n(n 1) + = + ____________
三、解答题
13．(10 分) 已知等差数列
111,91,71, 2 2 2 „的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号 n 的值，并求n S 的值。 14．（10 分）已知数列n { } n a 的前n 项和为n S ， 1( 1) 3 n S= a− (n∈N* ) ⑴ 求 1 2 a ,a ；
⑵ 求证：数列{ } n a 是等比数列。
15．（8 分）如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东 60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的 航向再行驶80 min 到达C 点，求P、C 间的距离。
[模块考试情况分析]：
样本容量为57（一个普通班学生）
选择题各小题得分率如下： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 得分率 0.72 0.33 0.70 0.60 0.61 0.37 0.51 0.67 0.82 60° 30° 60°
A B C P 北
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填空题、解答题满分率如下： 题号 10 11 12 13 14 15 得分率 0.59 0.40 0.58 0.44 0.57 0.29 综合以上对考试的试卷分析，对本模块及以后的教学有着以下几点启示：
1、要重视基础。数学教学必须面向全体学生，立足基础，教学过程中要落实基本概念 知识、基本技能和基本数学思想方法的要求，特别要关心数学学习困难的学生，通过学习兴 趣培养和学习方法指导，使他们达到学习的基本要求，努力提高合格率。
2、培养学生的数学表述能力，提高学生的计算能力。学生在答题中，由于书写表达的 不规范或是表述能力的欠缺，也是造成失分的原因。表述是一种重要的数学交流能力，因此， 教学中要重视训练，培养学生良好的数学表述能力。同时也要加强考前指导，学习中考说明 中有关答题的要求，尽量减少由于表述不清造成的失分。
3、强化思维过程，努力提高理性思维能力。数学基础知识的学习要充分重视知识的形 成过程，解数学题要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学方法和基本数学思想在解题中 的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一个数学问题的多条途径，注意增减直觉猜 想，归纳抽象，逻辑推理，演绎证明，运算求解等理性思维能力。如果这方面做得好的话。
4、倡导主动学习，营造自主探索和合作交流的环境。学校和教师要为学生营造自主探索和 合作交流的空间，善于从教材实际和社会生活中提出问题，开设研究性课程，让学生自主学习、讨论、交流，在解决问题的过程中，激发兴趣，树立信心，培养钻研精神，同时提高数 学表达能力和数学交流能力。 三.模块教学反思。
（1）数学必修5 的内容共有三章，分别是：解三角形，数列，不等式；内容较多，在 课改之前应该是高二上学期的内容，并且每周至少是6 课时；现在实行课改后5 周就上完课 本的三分之二，每周是5 课时；由于课时紧，任务大，我感觉学生学得不够好，大多数学生 反映“消化不良”。数学必修5 结束一半时进行了一次期末考试，结果也与我们预期的有较 大的出入；课本上原题（含例题、课后练习、习题A 组与复习题的A 组）占了整个试题的 55%，结果有超过一半的学生不及格，原因在哪里呢？我想这应该是我在下一个学段急需解 决的主要问题；在上课时我也是一直是按新课程的理念贯穿整个教学的始终，也是处处体现 为了每一个学生的发展的理念，可为什么最后的结果会有如此大的反差呢？针对这样的情 况，我该怎么办，这也是我在今后所要解决的一个突出的问题。
另我感到欣慰的是：有相当一部分学生懂得如何去学习，如何去钻研、如何带着质疑的 态度去仔细斟酌；正是有了这种勤学好问的精神，所以学生自己发现了书本的好几处错误： 如：教材61 页最上面的、教材135 页例题3 解答中也有一处、教材140 页A 组
他同学一起帮助解决问题，我仅仅是在课堂上控制一下课堂节奏；引导学生如何倾听他人的 观点；在学生感到非常困难是加以分析、引导；指导他们如何进行合作学习；思考如何让学 生都“动”起来等等。
（2）“内容多，课时少”是学生反映最强烈的问题．调查发现，78％的学生认为老师讲课 速度快，学习跟不上，没有时间理解和消化所学习的内容．因而有必要适当调整部分教学内 容，如在高一
好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的 学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三 角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让 学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角 的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容 时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法， 这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就 是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从 联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知 识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的
有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学 生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问 题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题 的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增 强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实 际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
1．1．1 正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方 法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2.过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关 系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用 的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情 推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间 的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：
sin sin sin a b c A B C = = ，接着就一般斜
三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导， 让学生发现向量知识的简捷，新颖。 教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学设想 [创设情景] 如图1．1-1，固定Δ ABC 的边CB 及∠ B，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考： ∠ C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠ C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等 式关系。如图1．1-2，在Rt Δ ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数 的定义，有sin a A c = ， sin b B c = ，又sin 1 c C c = = , A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 新人教高中数学必修5 教案全集
从而在直角三角形ABC 中，
sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当Δ ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD，根据任意角三角函数的 定义，有CD=asinB =bsinA,则
sin sin a b A B = ， C 同理可得
sin sin c b C B = ， b a 从而
sin sin a b A B = sin c C = A c B (图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究 这个问题。
（证法二）：过点A 作j ⊥AC
， C 由向量的加法可得 AB =AC +CB
则 j ⋅AB =j ⋅(AC +CB)
A B ∴j ⋅AB =j ⋅AC +j ⋅CB
j
cos(900− )=0+ cos(900− )
j AB A j CB C ∴csinA=asinC，即sin sin a = c A C 同理，过点C 作⊥
j BC，可得 sin sin b = c B C 从而
sin sin a b A B = sin c C = 类似可推出，当Δ ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a b A B = sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数k 使a =k sinA ，b =k sinB ，c =k sinC ；
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（2）
sin sin a b A B = sin c C = 等价于 sin sin a b A B = ， sin sin c b C B = ， sin a A = sin c C 从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
sin sin b A a B = ；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b = 。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例1．在ΔABC 中，已知A=32.00 ， B=81.80 ， a=42.9 cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理，
C=1800−(A+B) =1800−(32.00+81.80) =66.20 ；
根据正弦定理，
0 0 inin 42s.i9ns3in28.01.8 80.1( ) b=a AB= ≈ cm ；
根据正弦定理，
0 0 iinn 42s.9ins3in26.06.2 74.1( ).c=a AC= ≈ cm 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在ΔABC 中，已知a=20 cm， b=28 cm， A=400 ，解三角形（角度精确到10 ，边 长精确到1cm）。 解：根据正弦定理，
sin sin 28s2in0400 0.8999.B=baA= ≈
因为00 ＜ B ＜1800 ，所以B≈640 ，或B≈1160.⑴ 当B≈640 时，
C=1800−(A+B)≈1800−(400+640)=760 ，
0 0 iinn 2s0isnin4076 30( ).c=a AC= ≈cm ⑵ 当B≈1160 时，
C=1800−(A+B)≈1800−(400+1160)=240 ，
0 0 iinn 2s0isnin4024 13( ).c=a AC= ≈cm 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 [随堂练习]
例3．已知Δ ABC 中， ∠ A = 600 ，a = 3 ,求
sin sin sin a b c A B C + + + + 分析：可通过设一参数k(k>0)使
sin sin a b A B = sin c k C = = , 证明出 sin sin a b A B = sin c C = = sin sin sin a b c A B C + + + + 解：设
sin sin a b A B = ( >o) sin c k k C = = 则有a =k sinA ，b =k sinB ，c =k sinC 从而
sin sin sin a b c A B C + + + + = sin sin sin sin sin sin k A k B k C A B C + + + + = k 又
sin a A = 0 3 2 sin 60 = = k ，所以 sin sin sin a b c A B C + + + + =2 评述：在Δ ABC 中，等式
sin sin a b A B = sin c C = = ( 0) sin sin sin a b c k k A B C + + = > + + 恒成立。
[补充练习]已知Δ ABC 中，sinA:sinB:sinC = 1:2:3 ，求a :b :c （答案：1：2：3） [课堂小结]（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式：
sin sin a b A B = sin c C = = ( 0) sin sin sin a b c k k A B C + + = > + + ；
或a =k sinA ，b =k sinB ，c =k sinC (k >0) （2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
（五）评价设计
①课后思考题：（见例3）在Δ ABC 中，
sin sin a b A B = ( >o) sin c k k C = = ，这个k 与Δ ABC 有
什么关系？
②课时作业：
地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的
形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若Δ ABC 中，C= 900 ，则cosC=0 ，这时c2=a2+b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析] 例1．在Δ ABC 中，已知a=2 3， c= 6+ 2， B=600 ，求b 及A ⑴解：∵b2=a2+c2−2accosB = (2 3)2+( 6+ 2)2−2⋅2 3⋅( 6+ 2) cos 450 =12+( 6+ 2)2−4 3( 3+1) =8 ∴ b=2 2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos 22 2 2(2 2)22 2( 26 ( 26 )2 2()2 3)2 12, = + − = + + − = × × + A b cbc a ∴A=600.解法二：∵sin sin 2 3 sin450, 2 2 A=ba B= ⋅
又∵ 6+ 2＞ 2.4+1.4=3.8, 2 3＜2×1.8=3.6, ∴ a ＜ c ，即00 ＜ A＜ 900, ∴ A=600.评述：解法二应注意确定A 的取值范围。
例2．在Δ ABC 中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7cm，解三角形 （见课本
C=1800−(A+B)≈1800−(56020′+32053′) =90047′.[随堂练习] 1．当A 为钝角或直角时，必须a >b 才能有且只有一解；否则无解。 2．当A 为锐角时，
如果a ≥b ，那么只有一解；
如果a b sinA ，则有两解； （2）若a =b sinA ，则只有一解； （3）若a
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且
b sinA
[随堂练习1] （1）在Δ ABC 中，已知a = 80 ，b = 100 ， 0 ∠A = 45 ，试判断此三角形的解的情况。 （2）在Δ ABC 中，若a = 1，
1 2 c = ， 0 ∠C = 40 ，则符合题意的b 的值有_____个。
（3）在Δ ABC 中，a =xcm ，b = 2cm ， 0 ∠B = 45 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2
例2．在Δ ABC 中，已知a = 7 ，b = 5 ，c = 3 ，判断Δ ABC 的类型。 分析：由余弦定理可知
2 2 2 2 2 2 2 2 2 是直角ABC是直角三角形 是钝角ABC是钝角三角形 是锐角
a b c A a b c A a b c A = + ⇔ ⇔Δ > + ⇔ ⇔Δ
（注意：A是锐角⇔ΔABC是锐角三角形） 解： 2 2 2 ∵7 >5 +3 ，即2 2 2 a >b +c ， ∴ ΔABC是钝角三角形。 [随堂练习2] （1）在Δ ABC 中，已知sinA:sinB:sinC = 1:2:3 ，判断Δ ABC 的类型。 （2）已知Δ ABC 满足条件acosA =bcosB ，判断Δ ABC 的类型。 （答案：（1） ΔABC是钝角三角形；（2） Δ ABC 是等腰或直角三角形） 例3．在Δ ABC 中， 0 A = 60 ，b = 1，面积为
3 2 ，求
sin sin sin a b c A B C + + + + 的值
分析：可利用三角形面积定理
1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S = ab C = ac B = bc A 以及正弦定理
sin sin a b A B = sin c C = = sin sin sin a b c A B C + + + + 解：由
1 3 sin 2 2 S = bc A= 得c = 2 ，
则2 2 2 a =b +c −2bccosA =3，即a = 3 ，
新人教高中数学必修5 教案全集 从而
sin sin sin a b c A B C + + + + 2 sin a A = = [随堂练习3] （1）在Δ ABC 中，若a = 55 ，b = 16 ，且此三角形的面积S = 220 3 ，求角C （2）在Δ ABC 中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积
2 2 2 4 a b c S = + − ，求角C （答案：（1） 0 60 或0 120 ；（2） 0 45 ） [课堂小结] （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。
（五）评价设计（课时作业）
（1）在Δ ABC 中，已知b = 4 ，c = 10 ， 0 B = 30 ，试判断此三角形的解的情况。 （2）设x、x+
1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。 （3）在Δ ABC 中， 0 A = 60 ，a = 1，b +c = 2 ，判断Δ ABC 的形状。 （4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程2 5x −7x −6=0的根， 求这个三角形的面积。 解三角形应用举例
好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质 和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。 直角板、投影仪（多媒体教室） （4）教学设想
1、复习旧知
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、设置情境
请学生回答完后再提问：前面引言 = sin(180 51 75 ) 55sin75 ° − ° − ° °
= ° ° sin54 55sin75 ≈ 65.7(m) 答:A、B 两点间的距离为65.7 米
变式练习：两灯塔A、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30 ° ， 灯塔B 在观察站C 南偏东60 ° ，则A、B 之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。 解略： 2 a km 例
2、（动画演示辅助点和辅助线）如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测
量A、B 两点间距离的方法。
分析：这是例1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造 三角形，所以需要确定C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可 求出另两边的方法，分别求出AC 和BC，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D 两点分别测得∠ BCA=α ，
∠ ACD= β ， ∠ CDB=γ ， ∠ BDA =δ ，在Δ ADC 和Δ BDC 中，应用正弦定理得 AC = sin[180 ( )] sin( ) β γ δ γ δ
° − + + a + = sin( ) sin( ) β γ δ γ δ
+ + a + BC = sin[180 ( )] sin α β γ γ
° − + + a = sin( ) sin α β γ γ
+ + a 计算出AC 和BC 后，再在Δ ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离 AB = AC 2 + BC 2 − 2 AC × BC cos α
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40 米的C、D 两点，测得∠ BCA=60 ° ，∠ ACD=30 ° ，∠ CDB=45 ° ，
∠ BDA =60 °
略解：将题中各已知量代入例2 推出的公式，得AB=20 6 新人教高中数学必修5 教案全集
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些 过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选 择最佳的计算方式。
4、学生阅读课本4 页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
5、课堂练习
课本
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。 答案：a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3 变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状， （1） acosA = bcosB （2） sinC = A B A B cos cos sin sin + + 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” （1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。 生1：（余弦定理）得 a ×
bc b c a 2 2 + 2 − 2 =b×
ca c a b 2 2 + 2 − 2 ∴c 2 (a2 − b2 ) = a4 − b4 = (a2 + b2 )(a2 − b2 ) ∴ a2 = b2或c2 = a2 + b2 ∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得 sinAcosA=sinBcosB, ∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B, ∴A=B ∴根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而
略解（1）因为∠ BCD=75 ° ， ∠ ACB=45 ° ，所以
∠ ACD=30 ° ，又因为∠ BDC=45 ° ，所以 ∠ DAC=180 ° -（75 ° + 45 ° + 30 ° ）=30 ° ，
所以 AD=DC= 3 在Δ BCD 中， ∠ CBD=180 ° -（75 ° + 45 ° ）=60 ° ，所以 sin 75° BD = sin 60° DC ，BD = ° °
sin 60 3 sin 75 = 2 6 + 2 在Δ ABD 中，AB 2 =AD 2 + BD 2 -2 × AD × BD × cos75 ° = 5, 所以得 AB= 5 （3） S ΔABD = 2 1 × AD × BD × sin75 ° = 4 3 + 2 3 同理， S ΔBCD = 4 3 + 3 所以四边形ABCD 的面积S= 4 6 + 3 3 数学5
6、能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应的 问题。
二、编写意图：
1、数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成是 定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种特殊的函数模型。
2、本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探究， 理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。编写中体现 了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇， 充满魅力。
3、教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。
4、教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。如类比思想、归纳思想、数形结合 思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。
5、教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适度应用 现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。
三、教学内容及课时安排建议 本章教学时间约12 课时
2.1 数列的概念与简单表示法 约2 课时 2.2 等差数列 约2 课时
2.3 等差数列的前n 项和 约2 课时 2.4 等比数列 约2 课时
2.5 等比数列的前n 项和 约2 课时 问题与小结 约2 课时
四、评价建议
1、重视对学生数学学习过程的评价
关注学生在数列知识学习过程中，是否对所呈现的现实问题情境充满兴趣；在学习过 程中，能否发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数 函数的关系。
2、正确评价学生的数学基础知识和基础技能
关注学生在数列知识的学习过程中，能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，发现 数列的等差关系或等比关系，正确运用等差数列、等比数列的通项公式和求和公式解决具体 问题。
2．1 数列的概念与简单表示法
（一）教学目标
1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数 列是一种特殊的函数；
2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列 的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列 的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
（一）教学重、难点
重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种
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间单的表示法（列表、图象、通项公式）；
难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
（二）学法与教学用具
学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单 的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。 教学用具：多媒体、投影仪、尺等
（三）教学设想
1、多媒体展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序 号有什么关系？
2、（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫 做这个数列的项。
（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1， 3，2，4，5”呢？给出首项与
写出这个数列的前五项。
此题与例1 的学习是互为相反的关系，也是为了引入下文的等差数列，等差数列是最简单 的递推数列。
8、课堂练习：P36 1~5， 课后作业：P38习题2.1 A 组 1，2，4，6。
9、课堂小结：
（1）数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；
（2）了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能发现数列规律找出可能 的通项公式。
（3）了解数列是一种特殊的函数。
（四）评价设计
1、重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价
关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过 程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。
2、正确评价学生的数学基础知识和基础技能
能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数 列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式也是数列的一种表示方法。
2．2 等差数列
（一）教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具 体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一 次函数的关系。
2.过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出 等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列 通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数 列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些 简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差 数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具：投影仪
（四）教学设想 [创设情景] 新人教高中数学必修5 教案全集
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以 后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0 开始，每隔5 数一次，可以得到数列： 0，5，____,____,____,____,„„
2000 年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共 设置了7 个级别。其中较轻的4 个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如 果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算 起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5， 8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一 期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期 存入10 000 元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5 年内各年末的本利和分别是： 时间 年初本金（元） 年末本利和（元）
提问：如果在a 与b 中间插入一个数A，使a ，A，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么
条件？
由学生回答：因为a，A，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道： A-a=b-A 所以就有
2 A a b + = 由三个数a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的 等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从 2 1 , a − a = d , 3 2 a − a = d , 4 3 a − a = d „
所以 , 2 1 a = a + d , 3 2 a = a + d , 4 3 a = a + d „„
思考：那么通项公式到底如何表达呢？
, 2 1 a = a + d ( ) 2 , 3 2 1 a = a + d = a + d + d = a + d ( 2 ) 3 , 4 3 1 a = a + d = a + d + d = a + d „„
得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以1 a 为首项，d 为公差的等差数列{ } n a 的通项 公式为： a a n d n ( 1) 1 = + −
也就是说，只要我们知道了等差数列的首项1 a 和公差d，那么这个等差数列的通项n a 就 可以表示出来了。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式： （迭加法）： { } n a 是等差数列，所以 , 1 a a d n n − = −
, 1 2 a a d n n − = − − , 2 3 a a d n n − = − −
„„
, 2 1 a − a = d 两边分别相加得 ( 1) , 1 a a n d n − = − 所以 a a n d n ( 1) 1 = + −
（迭代法）：{ } n a 是等差数列，则有 a a d n n = + −1 （n-1）个等式
新人教高中数学必修5 教案全集 a d d n = + + −2 a d n 2 2 = + −
a d d n 2 3 = + + − a d n 3 3 = + −
„„
a (n 1)d 1 = + −
所以 a a n d n ( 1) 1 = + −
[例题分析] 例
1、⑴求等差数列8，5，2，„的
出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。
（放投影片）思考例题：例3 已知数列{ } n a 的通项公式为a pn q, n = + 其中p、q 为常数， 且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定{ } n a 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看−1 − n n a a （n ＞1）是不是一个与n 无关的常数。
解：取数列{ } n a 中的任意相邻两项n n−1 a 与a （n＞1），
求差得 a a pn q p n q pn q pn p q p n n − = + − − + = + − − + = − ( ) [ { 1) ] ( ] 1 它是一个与n 无关的数.所以{ } n a 是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项a = p + q,公差d = p 1 。由此我们可以知道对于通项公式是形如
a pn q n = + 的数列，一定是等差数列，一次项系数p 就是这个等差数列的公差，首项是p+q.例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通 项公式是关于正整数n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。 [探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究：
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为a = 3n − 5 n 的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5 的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列
a pn q n = + 与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系。
分析：⑴n 为正整数，当n 取1，2，3，„„时，对应的n a 可以利用通项公式求出。经过描
点知道该图象是均匀分布的一群孤立点； ⑵画出函数y=3x-5 的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一 次函数当x 在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列
a pn q n = + 的图象是一次函数y=px+q 的图象的一个子集，是y=px+q 定义在正整数集上对
应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列a pn q n = + 中的p 的几何意义去探究。 [随堂练习] 例1 之后：课本45 页“练习”
本节主要内容为：
①等差数列定义：即a a d n n − = −1 (n≥2) ②等差数列通项公式： = n a a (n 1)d 1 + − (n≥1) 推导出公式： a a n m d n m = + ( − ) (五）评价设计
1、已知{ } n a 是等差数列.⑴ 5 3 7 2a =a +a是否成立？ 5 1 9 2a =a+a呢？为什么？
⑵ 1 1 2 1 n n n a a a n − + = + （ 〉）是否成立？据此你能得出什么结论？
2 1 n nk nk a a a n − + = + （ 〉）是否成立？据此你又能得出什么结论？
2、已知等差数列{ } n a 的公差为d.求证： m n a a d m n − = −
2．2 等差数列的前n 项和
（一）教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具 体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一 次函数的关系。
2.过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的
出了正确答案：（1+100）+（2+99）+„„+（50+51）=101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，„，n，„前100 项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前n 项的和。 [探索研究] 我们先来看看人们由高斯求前100 个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受 到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，„，n，„的前n 项的和： 由 1 + 2 + „ + n-1 + n n + n-1 + „ + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ „ +（n+1）+（n+1） 可知
2 1 2 3 ...n (n 1) n + ×
+ + + + = 上面这种加法叫“倒序相加法”
请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？
高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的 = na1 +[d +2d +...+(n−1)d] = 1 na +[1+ 2+...+(n−1)]d 1 2 3= 1 ( 1) 2 na n n d − + 这两个公式是可以相互转化的。把1 ( 1) n a =a+ n− d代入1 ( )
山东省高中数学(新课标人教A版)必修三《1.2.3 循环语句》教案
