数列知识点总结

发布时间：2020-03-03 00:19:44 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

必修⑤ 第二章数列知识总结

一、等

1．等差数列定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项；数列可以看作一个定义域为正整数集N(或它的有限子集{1,2,,n}的函数当

自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.它的图像是一群孤立的点.它具有如下特征：

an1and, 或an2an1an1an(nN)

注意：

（1）证明数列{an} 是等差数列的五种基本方法（③④⑤大多用在客观题上）：

①利用定义：证明an1and（常数）

②利用中项性质：证明2anan1an2(nN)

③通项公式法：anpnq（p、q为常数）{an}为等差数列

④前n项和公式法：SnAn2Bn（A、B为常数）{an}为等差数列

（2）证明数列an不是等差数列的常用方法：找反例.(如验证前三项不成等差数列) .（3）若an1ann,a1a,nN，则{an}不是等差数列,求an可用累加法

an(anan1)(an1an2)

2．通项公式及其变式 ⑤{an}成等比数列且an0{lgan}为等差数列 (aa,n 2.21)a1≥

ana1(n1)ddn(a1d)

变式：①anam(nm)d②a1a (n1)dn

aaaa ③dnm④dnm（联想点列(n,an)所在直线的斜率）nmnm

3．前n项和公式及其变式

n(a1an)na1n(n1)d； 2

2变式: ①Snannn(n1)d 联想:an是以an为首项, d为公差的等差数列.2②Snn(a1)n SS③n(n1)a1联想：n 是以a1为首项,为公差的等差数列 2

Saana1a2an④n1联想：算术平均数 Sn

4．等差中项

若 a, b, c成等差数列，则b 称a与c的等差中项，且b．

5．重要性质(等差数列an中)

（1）对称性质：若m+n=p+q(m.、n、p、qN), 则amanapaq；

特别地：当m+n=2p时aman2ap;

(2）若d为{an}的公差，则其子数列ak,akm,ak2m,,也成等差数列，且公差为md；（3）片段和性质：Sm,S2mSm,S3mS2m,也成等差数列，且公差为md；（4）若an,bn都是等差数列,则kan,kanp,kanpbn都为等差数列；

S奇a

n；S2nn(anan1); S偶an

1S*

若项数为2n-1 (nN) 则S奇S偶an；奇；S2n1(2n1)an.S偶n1

（5）若项数为2n (n) 则S偶S奇nd；

评注:有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项.

6．常用结论、技巧，减少运算量（注意对称设元，整体消参，设而不求）（1）设元技巧：如三个数成等差数列，可设为ad,a,ad；

四个数成等差数列，可设为a3d,ad,ad,a3d.（2）在等差数列中，求Sn最值：

方法一：建立Sn的目标函数，转化为n的二次函数求；方法二：若a10,d0时,Sn有最大值，这时可由不等式组

an≥0

来确定n；

an1≤0

an≤0

若a10,d0时,Sn有最小值，这时可由不等式组来确定n.a≥0n

1（3）基本量计算：等差数列中有五量(a1,n,d,an,Sn)、三式（一个通项公式，两个求和公式），一般可以“知三求二”通过列方程（组）求关键量a1和d，问题可迎刃而解.

（4）几个重要结论

①apq,aqp(pq)apq0 ②Spq,Sqp(pq)Spq(pq) ③SpSq(pq)Spq0 ④SmnSmSnmnd

二、等比数列

１．定义与特征：

定义：______________________________________________.它具有如下特征：

an1aa

q(q为不为零常数)或者n2n1（nN*） nn1nan

1q(q为不为零常数) an

注：（1）证明数列是等比数列的两个基本方法：

①利用定义：

②利用等比中项：an1anan

2③通项公式法: ancqn(c0) ④前n项和法:Snkqnk

(k0)

（2）证明数列an不是等比数列的常用方法：找特例.2．通项公式：ana1qn1；

变式：anamqnm； q

3．前n项和公式：

nm

⑤{an}成等差数列{cn}为等比数列



an

（n>m; m、nN） m

a1(1qn)a1anq

sn；(q1)

（1）注意：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.Sn1qn

（2）当公比q1时， 

m1qm

4．等比中项

若a，G , b成等比数列，则G为a, b的等比中项，即Gab,ab0.5．性质

在等比数列an中，有

（1）若m+n=p+q ，m ,n, p ,qN, 则amanapaq；

当m+n=2p时，amanap；



anb,,也成等比数列； nn

nn

（3）若q为{an}的公比，则其子序列ak,akm,ak2m,也成等比数列,公比为q；

()

（4）片段和:Sm,S2mSm,S3mS2m,也成等比数列，且公比为qm.

（2）若{an},{bn}成等比数列, 则{|an|}kan,an

a

6．常用结论、技巧：

（1）①SmnSmqmSnSnqnSm ②S3nSnqnS2nS2nq2nSn （2）前n项和公式，一定要分q=1或q1两种情况． (3) 设元技巧：三个数成等比数列，通常设为,a,aq；

四个数成等比数列，不能设为3,,aq,aq，只有当q>0时才可以．

(4) 等比数列an的单调性

①当a10,q1或 a1

④当q0时，等比数列an为摆动数列.(5)有限项等比数列中，设“偶数项和”为S偶，“奇数项和”为S奇

①若总项数为偶数2n，则S偶qS奇； ②若总项数为奇数2n1，S奇a1qS偶.

三、数列求和的方法：

１．公式法

(1)等差数列{an}的前n项和公式（三种形式）;

(2)等比数列{an}的前n项和公式（三种形式）;(3)几个重要公式

①135(2n1)(n1)

2②122232n2n(n1)(n2)

n2(n1)2333

3③123n

２．倒序相加法:在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）．如: 在和n1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，求所插入的n个数之积． 3．错位相减法：适用于bncn的数列；其中bn成等差数列,Cn成等比数列.n

记Snb1c1b2c2bn1cn1bncn；则qSnb1c2bn1cnbncn1.

（这也是等比数列前n和公式的推导方法之一）

4．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

②() ③[] ④anSnSn1(n≥2)

5.分组求和：适用于cnanbn ，而an、bn的和易求得.

四、求一般数列通项公式的类型及方法：

①

1．应用公式（等差、等比数列）；

S1(n1)2．已知Sn求an可用an,是否分段,需要验证.SS(n≥2)n1n

(数列的通项、数列的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的

关系)

3．累加法：适用于差后等差或差后等比的数列；